Chủ đề này có 2 trả lời

[290iy4072012]

Bài toán
Chứng minh rằng, với mọi số thực dương $a,b,c$ thì ta có :
$$\left (a+\dfrac{1}{b}-1\right )\left (b+\dfrac{1}{c}-1\right )+\left (b+\dfrac{1}{c}-1\right )\left (c+\dfrac{1}{a}-1\right )+
\left (c+\dfrac{1}{a}-1\right )\left (a+\dfrac{1}{b}-1\right ) \ge 3$$

[Ispectorgadget]

Bài toán
Chứng minh rằng, với mọi số thực dương $a,b,c$ thì ta có :
$$\left (a+\dfrac{1}{b}-1\right )\left (b+\dfrac{1}{c}-1\right )+\left (b+\dfrac{1}{c}-1\right )\left (c+\dfrac{1}{a}-1\right )+
\left (c+\dfrac{1}{a}-1\right )\left (a+\dfrac{1}{b}-1\right ) \ge 3$$

Cái này là mít chứ không ai khác
Đặt $x;y;z$ lần lượt là $\frac{1}{a}+a;b+\frac{1}{b};c+\frac{1}{c}$
Giả sử $x=max\begin{Bmatrix}
x,y,z
\end{Bmatrix}$ ta có $x\geq \frac{1}{3}(x+y+z)=\frac{1}{3}(a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b}+c+\frac{1}{c})\ge \frac{1}{3}(2+2+2-3)=1$
$(x+1)(y+1)(z+1)=abc+\frac{1}{abc}+a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge 2+a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=5+x+y+z$ và ta có $xyz+xy+xz+yz\ge 4$ nên $y+z=\frac{1}{a}+b+\frac{(c-1)^2}{c}>0$
$\star yz\leq 0$. Ta có $xyz\leq 0$ và từ $xy+xz+yz\ge 4$ ta có $xy+xz+yz\ge 4>3$
$\star y,z>0$ đặt $d=\sqrt{\frac{xy+xz+yz}{3}}$. Ta có $d\ge 1$.
Áp dụng BĐT cauchy ta có $xyz\leq d^3$. Từ $xy+xz+yz+xzy\ge 4$ ta có $d^3+4d^2\ge 4, (d-1)(d+2)^2 \ge 0; d\ge 1$.
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1\,\,\,\,\, \blacksquare$

[caokhanh97]

$x= a+\frac{1}{b}-1,y=b+\frac{1}{c}-1,z= c+\frac{1}{a}-1$ cần chứng minh $xy+yz+xz\geq 3$ GS $(x-1)(y-1)\geq 0$ suy ra $x+y\geq \frac{4}{z+1}$ tương đương $a+b+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-2\geq a+\frac{1}{c}\geq \frac{4}{c+\frac{1}{a}}$ luôn đúng