Bài toán: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương a và b, số (36a+b)(36b+a) không thể là một lũy thừa của 2
#2
Đã gửi 26-07-2012 - 23:24
dactai10a1
-
- Thành viên
-
- 277 Bài viết
Thượng sĩ
Ta giải bài này bằng nguyên lí cực hạn
Giả sử tồn tại cặp số nguyên dương (a,b) sao cho (36a+b)(36b+a) là 1 lũy thừa của 2.Trong số những cặp (a,b) như thế ta có thể chọn cặp (m,n) nguyên dương mà m+n là nhỏ nhất
Vì \[(36m + n)(36n + m) = {2^k}\] mà m,n nguyên dương nên \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{36m + n = {2^r}}\\
{36n + m = {2^s}}
\end{array}} \right.\] (r+s=k>2)
Từ đó suy ra m,n đều chẵn .Đặt m=2p,n=2q (p,q là các số nguyên dương) thì
\[(36p + q)(36q + p) = \frac{{36m + n}}{2}.\frac{{36n + m}}{2} = {2^{r + s - 2}}\] cũng là 1 lũy thừa của 2
mà \[p + q = \frac{{m + n}}{2} < m + n\] mâu thuẫn với tính nhỏ nhất của m+n
Vậy giả thiết phản chứng là sai
Suy ra đpcm
Giả sử tồn tại cặp số nguyên dương (a,b) sao cho (36a+b)(36b+a) là 1 lũy thừa của 2.Trong số những cặp (a,b) như thế ta có thể chọn cặp (m,n) nguyên dương mà m+n là nhỏ nhất
Vì \[(36m + n)(36n + m) = {2^k}\] mà m,n nguyên dương nên \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{36m + n = {2^r}}\\
{36n + m = {2^s}}
\end{array}} \right.\] (r+s=k>2)
Từ đó suy ra m,n đều chẵn .Đặt m=2p,n=2q (p,q là các số nguyên dương) thì
\[(36p + q)(36q + p) = \frac{{36m + n}}{2}.\frac{{36n + m}}{2} = {2^{r + s - 2}}\] cũng là 1 lũy thừa của 2
mà \[p + q = \frac{{m + n}}{2} < m + n\] mâu thuẫn với tính nhỏ nhất của m+n
Vậy giả thiết phản chứng là sai
Suy ra đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dactai10a1: 26-07-2012 - 23:27
- perfectstrong và Zaraki thích
#3
Đã gửi 27-07-2012 - 06:18
Zaraki
-
- Phó Quản lý Toán Cao cấp
-
- 4273 Bài viết
PQT
Câu hỏi tương tự đề thi MSS 2011: http://diendantoanho...ectmath-vs-all/
Lời giải của mình:
Cái này tự dưng chán lại mò mẫm ra một lời giải nữa:
Đặt $x=2^c \cdot p, \; y=2^d \cdot q$, với $p,q$ lẻ. Không mất tính tổng quát, giả sử $c \ge d$. Ta có
$$36x+y=36 \cdot 2^cp+2^dq=2^d(36 \cdot 2^{c-d}p+q).$$
Do đó $$(36x+y)(36y+x)=2^d(36 \cdot 2^{c-d}p+q)(36y+x)$$
có một thừa số lẻ là $36 \cdot 2^{c-d}p+q$, nên $(36x+y)(36y+x)$ không thể là lũy thừa của $2$.
Lời giải của mình:
Cái này tự dưng chán lại mò mẫm ra một lời giải nữa:
Đặt $x=2^c \cdot p, \; y=2^d \cdot q$, với $p,q$ lẻ. Không mất tính tổng quát, giả sử $c \ge d$. Ta có
$$36x+y=36 \cdot 2^cp+2^dq=2^d(36 \cdot 2^{c-d}p+q).$$
Do đó $$(36x+y)(36y+x)=2^d(36 \cdot 2^{c-d}p+q)(36y+x)$$
có một thừa số lẻ là $36 \cdot 2^{c-d}p+q$, nên $(36x+y)(36y+x)$ không thể là lũy thừa của $2$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 27-07-2012 - 06:20
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
