Cho phương trình $x^n+x^{n-1}+...+x-1=0$.
Chứng tỏ rằng, với mỗi số nguyên dương $n$ thì phương trình có duy nhất 1 nghiệm dương $x_n$ và tìm $\lim_{x \to +\infty}$
$x^n+x^{n-1}+...+x-1=0$. Chứng tỏ rằng, với mỗi số nguyên dương $n$ thì phương trình có duy nhất 1 nghiệm dương $x_n$ và ...
Bắt đầu bởi yeu meo, 27-07-2012 - 22:12
#2
Đã gửi 28-07-2012 - 00:33
tieulyly1995
-
- Thành viên
-
- 435 Bài viết
Sĩ quan
Cho phương trình $x^n+x^{n-1}+...+x-1=0$.
Chứng tỏ rằng, với mỗi số nguyên dương $n$ thì phương trình có duy nhất 1 nghiệm dương $x_n$ và tìm $\lim_{x \to +\infty}$
_ Xét : $f(x)=x^n+x^{n-1}+...+x-1$
có $f'(x)=nx^n+(n-1)x^{n-2}+...+1 > 0 , \forall x\geq 0$ và $n>0$
nên $f(x)$ đồng biến trên $\left [ 0; +\infty \right )$ (1)
_ Mặt khác : $f(x)$ liên tục trên $\left [ 0; +\infty \right )$
và $f(0).f(1)< 0$ nên PT $f(x)=0$ có nghiệm $x$ thuộc $(0;1)$ (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra PT $f(x)=0$ có nghiệm dương duy nhất.
Ta thấy : $x_{n}> 0$ và $x_{n}+x_{n}^{2}+ ...+ x_{n}^{n}=1$ (do $x_{n}$ là nghiệm dương duy nhất của PT $f(x)=0$ )
nên $(x_{n})$ là dãy giảm, lại bị chặn dưới bởi $0$
do đó $(x_{n})$ có giới hạn hữu hạn, đặt $limx_{n} = a$
Ta có :
$1=x_{n}+x_{n}^{2}+ ...+ x_{n}^{n}= x_{n}.\frac{1-x_{n}^{n}}{1-x_{n}}$
hay $1= a. \frac{1}{1-a}$ (vì $lim {x}^{n}_{n} = 0$ )
Vậy $lim x_{n} = a = \frac{1}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tieulyly1995: 28-07-2012 - 00:33
- dark templar, perfectstrong, hxthanh và 2 người khác yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
