Tìm những điểm trên đồ thị (C) của hàm số $y=x+1+\frac{1}{x-1}$ có hoành độ lớn hơn 1 sao cho tiếp tuyến tại đó tạo với 2 tiệm cận 1 tam giác có chu vi nhỏ nhất.
#2
Đã gửi 28-07-2012 - 20:23
nucnt772
-
- Thành viên
-
- 209 Bài viết
Thượng sĩ
Xét M($x_{0};x_{0}+1+\frac{1}{x_{0}-1}$).
Tiếp tuyến tại M có phương trình:
$y=(1-m^{2})x+m^{2}+2m+1$ (với $m=\frac{1}{x_{0}-1}$)
Tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng tại A$(1;2m+2)$, cắt tiệm cận xiên tại B$(1+\frac{2}{m};2+\frac{2}{m})$
và 2 tiệm cận cắt nhau tại I(1;2)
Chu vi $\Delta _{ABI}:$ $P=AB+IB+IA=\sqrt{4m^{2}+\frac{8}{m^{2}}+8} +\frac{2\sqrt{2}}{\left | m \right |}+2\left | m \right |.$
Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:
$4m^{2}+\frac{8}{m^{2}}\geq 8\sqrt{2}$
$\frac{2\sqrt{2}}{\left | m \right |}+2\left | m \right |\geq 4\sqrt[4]{2}$
$\Rightarrow P\geq \sqrt{8\sqrt{2}+8}+4\sqrt[4]{2}$
Đằng thức xảy ra $\Leftrightarrow m=\sqrt[4]{2}$ hoặc $m=-\sqrt[4]{2}$
Từ đó $\Rightarrow M(...;...)$.
Tiếp tuyến tại M có phương trình:
$y=(1-m^{2})x+m^{2}+2m+1$ (với $m=\frac{1}{x_{0}-1}$)
Tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng tại A$(1;2m+2)$, cắt tiệm cận xiên tại B$(1+\frac{2}{m};2+\frac{2}{m})$
và 2 tiệm cận cắt nhau tại I(1;2)
Chu vi $\Delta _{ABI}:$ $P=AB+IB+IA=\sqrt{4m^{2}+\frac{8}{m^{2}}+8} +\frac{2\sqrt{2}}{\left | m \right |}+2\left | m \right |.$
Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:
$4m^{2}+\frac{8}{m^{2}}\geq 8\sqrt{2}$
$\frac{2\sqrt{2}}{\left | m \right |}+2\left | m \right |\geq 4\sqrt[4]{2}$
$\Rightarrow P\geq \sqrt{8\sqrt{2}+8}+4\sqrt[4]{2}$
Đằng thức xảy ra $\Leftrightarrow m=\sqrt[4]{2}$ hoặc $m=-\sqrt[4]{2}$
Từ đó $\Rightarrow M(...;...)$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nucnt772: 28-07-2012 - 20:28
cnt
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
