Chủ đề này có 3 trả lời

[Beautifulsunrise]

Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn $a^2+b^2+c^2 = 4$. Tìm Max $A = 2(a+b+c) - abc.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tham Lang: 29-07-2012 - 09:49

[vuanh97]

Đổi biến $p=a+b+c, q=ab+bc+ca, r=abc$
Giả thiết tương đương với $p^{2}-2q=4$
$ A=2p-r \leq 2p - \frac{p(4q-p^{2}}{9} = {\frac{18p-4pq+p^{3}}{9}} = \frac{26p-p^{3}{9} $
chú ý $0\leq p \leq2\sqrt{3}$
Rồi mình nghĩ đến đây chỉ cần khảo sát hàm số $f(x)=\frac{26x-x^{3}}{9}$ với $0\leq x \leq 2\sqrt{3}$ được max = $4\sqrt{2}$ tại $x=2\sqrt{2}$
Vậy max $A=4\sqrt{2}$ tại $(a,b,c)=(0,\sqrt{2},\sqrt{2})$ và các hoán vị

Sorry nhé lời giải trên sai mất rồi. theo wolframalpha thì f(x) max tại $x=\sqrt{\frac{26}{3}}$ cơ!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuanh97: 29-07-2012 - 10:48

[triethuynhmath]

Đổi biến $p=a+b+c, q=ab+bc+ca, r=abc$
Giả thiết tương đương với $p^{2}-2q=4$
$ A=2p-r \leq 2p - \frac{p(4q-p^{2}}{9} = {\frac{18p-4pq+p^{3}}{9}} = \frac{26p-p^{3}{9} $
chú ý $0\leq p \leq2\sqrt{3}$
Rồi mình nghĩ đến đây chỉ cần khảo sát hàm số $f(x)=26x-x^{3}$ với $0\leq x \leq 2\sqrt{3}$ được max = $4\sqrt{2}$ tại $x=2\sqrt{2}$
Vậy max $A=4\sqrt{2}$ tại $(a,b,c)=(0,\sqrt{2},\sqrt{2})$ và các hoán vị

Nếu như sử dụng khảo sát hàm số thì vượt qua kiến thức THCS rồi đấy bạn à

[Secrets In Inequalities VP]

Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn $a^2+b^2+c^2 = 4$. Tìm Max $A = 2(a+b+c) - abc.$

Ta có :
$VT^{2}=[(2-bc)a+2(b+c)]\leq [(2-bc)^2+2^2][a^2+(b+c)^2]= (8-4bc+b^2c^2)(4+2bc)$
$=2(bc)^3-4(bc)^2+32$
Đặt $bc= t\Rightarrow t=bc\leq \frac{b^2+c^2}{2}\leq \frac{a^2+b^2+c^2}{2}= \frac{4}{2}= 2\Rightarrow t\leq 2$
$VT^2\leq 2t^3-4t^2+32$
Ta sẽ CM :$2t^3-4t^2+32\leq 32$
Thật vậy : $2t^3-4t^2+32\leq 32\Leftrightarrow t\leq 2$ ( luôn đúng )
$\Rightarrow VT^{2}\leq 32\Rightarrow VT\leq 4\sqrt{2}$