$f(m-n)f(m+n)=f(m^2)$
#1
Posted 28-07-2012 - 18:31
$$f(m-n)f(m+n)=f(m^2)$$ với $m,n \in N$
#2
Posted 01-08-2012 - 10:10
Tìm tất cả các hàm số $f:N \to N$ thoả mãn
$$f(m-n)f(m+n)=f(m^2)\ (1)$$ với $m,n \in N$
-Trong $(1)$ cho $m=n=0$ thì:
$$f(0)^2=f(0)\Leftrightarrow \left [ \begin{matrix}f(0)=0\\f(0)=1 \end{matrix} \right.$$
*TH 1: Nếu $f(0)=0$ thì: Cho $m=0;n\in \mathbb{N}$ vào $(1)$ có:
$$f(n).f(-n)=f(0)=0\Leftrightarrow \left [ \begin{matrix}f(n)=0\\f(-n)=0 \end{matrix} \right.\Rightarrow f(n)=0$$
Thử lại thấy thỏa
*TH 2: Nếu $f(0)=1$ thì: Cho $m=0;n\in \mathbb{N}$ vào $(1)$ có:
$$f(n).f(-n)=f(0)=1\ (2)$$
Mặt khác, do $f(n);f(-n)\in \mathbb{N}$ nên:
$$(2)\Leftrightarrow\left\{ \begin{matrix}f(n)=1\\f(-n)=1 \end{matrix} \right.\Rightarrow f(n)=1$$
Thử lại thấy thỏa
Vậy hai hàm cần tìm là:
$f(n)=0$ và $f(n)=1\ \square$
Edited by minhtuyb, 01-08-2012 - 10:10.
- Mai Duc Khai likes this
#3
Posted 01-08-2012 - 14:23
Sai rồi nhé em Nếu $n \in \mathbb{N}^* \Rightarrow -n <0$ mà $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ thì làm sao có $f(-n)$?*TH 1: Nếu $f(0)=0$ thì: Cho $m=0;n\in \mathbb{N}$ vào $(1)$ có:
$$f(n).f(-n)=f(0)=0\Leftrightarrow \left [ \begin{matrix}f(n)=0\\f(-n)=0 \end{matrix} \right.\Rightarrow f(n)=0$$
Thử lại thấy thỏa
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
#4
Posted 01-08-2012 - 17:46
Dấu "hoặc" mà anh . Với $n=0$ thì hàm vẫn xác định nên em dùng dấu suy ra. Vậy phải trình bày như thế nào ạ?Sai rồi nhé em Nếu $n \in \mathbb{N}^* \Rightarrow -n <0$ mà $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ thì làm sao có $f(-n)$?
Edited by minhtuyb, 01-08-2012 - 17:48.
#5
Posted 01-08-2012 - 21:08
Em không hiểu ý anh thì phải? Nếu $n>0$ thì $-n<0$. Do miền xác định của $f$ là $\mathbb{N}$ nên không thể tồn tại $f(-n)$.Dấu "hoặc" mà anh . Với $n=0$ thì hàm vẫn xác định nên em dùng dấu suy ra. Vậy phải trình bày như thế nào ạ?
Lúc đó, làm sao tồn tại phép nhân $f(n).f(-n)=0$?
Anh cũng đang vướng chỗ đó nên chưa ra
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
#6
Posted 01-08-2012 - 23:17
Dạ em hiểu. Nhưng ý em là nên trình bày ntn ạ?Em không hiểu ý anh thì phải? Nếu $n>0$ thì $-n<0$. Do miền xác định của $f$ là $\mathbb{N}$ nên không thể tồn tại $f(-n)$.
Lúc đó, làm sao tồn tại phép nhân $f(n).f(-n)=0$?
Anh cũng đang vướng chỗ đó nên chưa ra
#7
Posted 05-08-2012 - 15:49
Mình làm thử henTìm tất cả các hàm số $f:N \to N$ thoả mãn
$$f(m-n)f(m+n)=f(m^2)(*)$$ với $m,n \in N$
-Ta thấy $f(x)=0$ là một nghiệm của (*)
-Xét f(x)$\neq$0:
-Lấy n=0 và $m\in N$, ta có: $f(m^2)=f(m)f(m)$
+f chuyển phép nhân ra phép nhân nên f là một hàm lũy thừa: $f(x)=x^a$
-Thay vào (*), ta có: $(m^2-n^2)^a=(m^2)^a$ đúng với mọi m và n tự nhiên,
Do đó, a=0
Hay f(x)=1
-Vậy f(x)=1 và f(x)=0 là 2 nghiệm của (*)
#8
Posted 07-08-2012 - 22:03
Cái này phải có yêu cầu là $f$ liên tục trên chứ nhỉ? Chứ nếu $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ thì $f$ đâu có liên tục?f chuyển phép nhân ra phép nhân nên f là một hàm lũy thừa: $f(x)=x^a$
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
#9
Posted 07-08-2012 - 22:51
mình nghĩ là cái đó suy ra trực tiếp từ đặc trưng của hàm chứ (mình ko chắc lắm...có gì sai sửa cho mình hen ^^,)Cái này phải có yêu cầu là $f$ liên tục trên chứ nhỉ? Chứ nếu $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ thì $f$ đâu có liên tục?
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users