Chủ đề này có 8 trả lời

[alex_hoang]

Tìm tất cả các hàm số $f:N \to N$ thoả mãn
$$f(m-n)f(m+n)=f(m^2)$$ với $m,n \in N$

[minhtuyb]

Tìm tất cả các hàm số $f:N \to N$ thoả mãn
$$f(m-n)f(m+n)=f(m^2)\ (1)$$ với $m,n \in N$

-Trong $(1)$ cho $m=n=0$ thì:
$$f(0)^2=f(0)\Leftrightarrow \left [ \begin{matrix}f(0)=0\\f(0)=1 \end{matrix} \right.$$

*TH 1: Nếu $f(0)=0$ thì: Cho $m=0;n\in \mathbb{N}$ vào $(1)$ có:
$$f(n).f(-n)=f(0)=0\Leftrightarrow \left [ \begin{matrix}f(n)=0\\f(-n)=0 \end{matrix} \right.\Rightarrow f(n)=0$$
Thử lại thấy thỏa

*TH 2: Nếu $f(0)=1$ thì: Cho $m=0;n\in \mathbb{N}$ vào $(1)$ có:
$$f(n).f(-n)=f(0)=1\ (2)$$
Mặt khác, do $f(n);f(-n)\in \mathbb{N}$ nên:
$$(2)\Leftrightarrow\left\{ \begin{matrix}f(n)=1\\f(-n)=1 \end{matrix} \right.\Rightarrow f(n)=1$$
Thử lại thấy thỏa

Vậy hai hàm cần tìm là:
$f(n)=0$ và $f(n)=1\ \square$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhtuyb: 01-08-2012 - 10:10

[perfectstrong]

*TH 1: Nếu $f(0)=0$ thì: Cho $m=0;n\in \mathbb{N}$ vào $(1)$ có:
$$f(n).f(-n)=f(0)=0\Leftrightarrow \left [ \begin{matrix}f(n)=0\\f(-n)=0 \end{matrix} \right.\Rightarrow f(n)=0$$
Thử lại thấy thỏa

Sai rồi nhé em Nếu $n \in \mathbb{N}^* \Rightarrow -n <0$ mà $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ thì làm sao có $f(-n)$?

[minhtuyb]

Sai rồi nhé em Nếu $n \in \mathbb{N}^* \Rightarrow -n <0$ mà $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ thì làm sao có $f(-n)$?

Dấu "hoặc" mà anh . Với $n=0$ thì hàm vẫn xác định nên em dùng dấu suy ra. Vậy phải trình bày như thế nào ạ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhtuyb: 01-08-2012 - 17:48

[perfectstrong]

Dấu "hoặc" mà anh . Với $n=0$ thì hàm vẫn xác định nên em dùng dấu suy ra. Vậy phải trình bày như thế nào ạ?

Em không hiểu ý anh thì phải? Nếu $n>0$ thì $-n<0$. Do miền xác định của $f$ là $\mathbb{N}$ nên không thể tồn tại $f(-n)$.
Lúc đó, làm sao tồn tại phép nhân $f(n).f(-n)=0$?
Anh cũng đang vướng chỗ đó nên chưa ra

[minhtuyb]

Em không hiểu ý anh thì phải? Nếu $n>0$ thì $-n<0$. Do miền xác định của $f$ là $\mathbb{N}$ nên không thể tồn tại $f(-n)$.
Lúc đó, làm sao tồn tại phép nhân $f(n).f(-n)=0$?
Anh cũng đang vướng chỗ đó nên chưa ra

Dạ em hiểu. Nhưng ý em là nên trình bày ntn ạ?

[robin997]

Tìm tất cả các hàm số $f:N \to N$ thoả mãn
$$f(m-n)f(m+n)=f(m^2)(*)$$ với $m,n \in N$

Mình làm thử hen
-Ta thấy $f(x)=0$ là một nghiệm của (*)
-Xét f(x)$\neq$0:
-Lấy n=0 và $m\in N$, ta có: $f(m^2)=f(m)f(m)$
+f chuyển phép nhân ra phép nhân nên f là một hàm lũy thừa: $f(x)=x^a$
-Thay vào (*), ta có: $(m^2-n^2)^a=(m^2)^a$ đúng với mọi m và n tự nhiên,
Do đó, a=0
Hay f(x)=1
-Vậy f(x)=1 và f(x)=0 là 2 nghiệm của (*)

[perfectstrong]

f chuyển phép nhân ra phép nhân nên f là một hàm lũy thừa: $f(x)=x^a$

Cái này phải có yêu cầu là $f$ liên tục trên chứ nhỉ? Chứ nếu $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ thì $f$ đâu có liên tục?

[robin997]

Cái này phải có yêu cầu là $f$ liên tục trên chứ nhỉ? Chứ nếu $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ thì $f$ đâu có liên tục?

mình nghĩ là cái đó suy ra trực tiếp từ đặc trưng của hàm chứ (mình ko chắc lắm...có gì sai sửa cho mình hen ^^,)