Chủ đề này có 8 trả lời

[dactai10a1]

Xác định tất cả các cặp số nguyên dương (n,p) sao cho p là số nguyên tố,n<2p và \[{(p - 1)^n} + 1 \vdots {n^{p - 1}}\]

[nguyenta98]

Xác định tất cả các cặp số nguyên dương (n,p) sao cho p là số nguyên tố,n<2p và \[{(p - 1)^n} + 1 \vdots {n^{p - 1}}\]

Giải như sau:
TH1: $n=1 \Rightarrow (n,p)=(1,p)$
TH2: $n>1$
Giả sử $q$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $n$ suy ra $gcd(p-1,q)=1$
Gọi $ord_{p-1}(q)=x$ suy ra $x$ là nhỏ nhất thỏa mãn $(p-1)^x-1 \vdots q$
Mặt khác ta có $(p-1)^{2n}-1 \vdots q \Rightarrow 2n \vdots x$
Ngoài ra theo định lý Fermat nhỏ suy ra $(p-1)^{q-1}-1 \vdots q$
Suy ra $q-1 \vdots x$ nên $q>x$
Mặt khác ta có $2n \vdots x$ gọi $r$ là một ước nguyên tố của $x$ mà $r\neq 2$ suy ra $n \vdots r$ mà $x<q \Rightarrow r<q$ mâu thuẫn vì ta đã giả sử $q$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $n$
Do đó $r=2$ hoặc $x=1$
$\blacksquare$ Nếu $x=1 \Rightarrow (p-1)^1-1 \vdots q \Rightarrow p-2 \vdots q$
Trở lại $(p-1)^n+1 \vdots q \Rightarrow (p-2+1)^n+1 \vdots q \rightarrow 2 \vdots q \Rightarrow q=2$
Suy ra $p-2 \vdots q=2 \rightarrow p$ chẵn nên $p=2$ suy ra $(p-1)^n+1=2 \Rightarrow n=2$
$\blacksquare$ Nếu $r=2 \Rightarrow x=2$ suy ra $(p-1)^2 \equiv 1 \pmod{p} \Rightarrow (p-1-1)(p-1+1) \vdots q$
Mặt khác do $x$ nhỏ nhất để $(p-1)^x-1 \vdots q$ nên $p-1-1 \not \vdots q$ vì nếu nó $\vdots q \Rightarrow (p-1)^1-1 \vdots q$ với $1<x$ vô lý
Suy ra $p-1+1 \vdots q \Rightarrow p \vdots q \Rightarrow p=q$
Mặt khác ta có $n<2p \Rightarrow n<2q$ mà $n \vdots q \Rightarrow n=q$
Do đó ta có $(p-1)^n+1 \vdots n^{p-1} \Leftrightarrow (q-1)^q+1 \vdots q^{q-1}$
Ta thấy $(q-1)^q+1=q\left((q-1)^{q-1}-(q-1)^{q-2}+...+(q-1)^2-(q-1)+1\right) \vdots q^{q-1}$
$\Rightarrow (q-1)^{q-1}-(q-1)^{q-2}+...+(q-1)^2-(q-1)+1 \vdots q^{q-2}$
Ta thấy dễ cm $n$ lẻ nên $q$ lẻ suy ra $q\geq 3$
$\boxed{KN1}$ Nếu $q=3$ thì thỏa mãn suy ra $p=q=n=3$
$\boxed{KN2}$ Nếu $q>3$ thì ta có$q^{q-1} \vdots q^3 \Rightarrow (q-1)^q+1 \vdots q^3 \Rightarrow q^q-C_q^1.q^{q-1}+....+C_q^{q-1}.q-1+1 \vdots q^3$
$\Rightarrow q^q-C_q^1.q^{q-1}+....+C_q^{q-1}.q \vdots q^3 \Rightarrow C_q^{q-1}.q \vdots q^3 \Rightarrow q^2 \vdots q^3$ vô lý
Vậy $\boxed{(n,p)=(1,p),(2,2),(3,3)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 11-08-2012 - 22:38

[Zaraki]

Xác định tất cả các cặp số nguyên dương (n,p) sao cho p là số nguyên tố,n<2p và \[{(p - 1)^n} + 1 \vdots {n^{p - 1}}\]

Lời giải. Dễ thấy với $n=1$ thì bất kì số nguyên tố $p$ nào cũng thoả mãn đề ra. Nếu $n \ge 2$ thì:

TH1. Nếu $p=2$ thì $n|2$, suy ra $n=2$.

TH2. Nếu $p$ lẻ. Lấy $q$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $n$, khi đó ta có $(p-1)^{2n} \equiv 1 \pmod{q}$ và $\gcd (p-1,q)=1$. Lấy $o$ là số nguyên dương nhỏ nhất thoả mãn $(p-1)^o \equiv 1 \pmod{q}$. Khi đó ta có $o|2q$.

Áp dụng định lý Fermat nhỏ ta có $(p-1)^{q-1} \equiv 1 \pmod{q}$. Ta suy ra $o|q-1$. Vậy $o|2$. Do đó $o=2$, tức $(p-1)^2 \equiv 1 \pmod{q}$ hay $q|p(p-2)$.

 

Khả năng 1. Nếu $q|p-2$ thì $(p-1)^n+1 \equiv 2 \pmod{q}$. Ta suy ra $q=2$, do đó $(p-1)^n+1$ chia hết cho $2$, mâu thuẫn vì $p$ lẻ.

 

Khả năng 2. Nếu $q|p$. Dễ chứng minh $n$ lẻ. Áp dụng bổ đề LTE ta có $$v_q \left( (p-1)^n+1 \right) = v_q(p)+v_q(n) \ge v_q(n)(p-1) \qquad (1)$$

Đặt $p=q^a \cdot b$ với $a,b \in \mathbb{N}^*$. Ta dễ chứng minh bằng quy nạp rằng $q^a \cdot b \ge a+2$ (chú ý vì $q|p$ nên $q \ge 3$). Dấu đẳng thức xảy ra khi $q=3,a=b=1$. Do đó $p \ge v_q(p)+2$. Kết hợp với $(1)$ ta suy ra $$p-2 \ge v_q(p) \ge v_q(n)(p-2)$$ Vậy $v_q(n)=1$ và $q=3,a=b=1$. Khi đó $p=3$.

Ta cần tìm $n=3k (k \in \mathbb{N}^*)$ thoả mãn $9k^2|8^k+1$. Hiển nhiên $9|8^k+1$. Ta cần tìm $k$ thoả mãn $k^2|8^k+1$.

Hoàn toàn tương tự, lấy $r$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $k$ thì $8^{2k} \equiv 1 \pmod{r}$ và lấy $s$ là số nguyên dương nhỏ nhất thoả mãn $8^s \equiv 1 \pmod{r}$. Ta chứng minh được $s|2$ nên $s=2$. Khi đó $r|8^2-1$ hay $r|7$, mâu thuẫn vì $8^k+1 \equiv 2 \pmod{7}$.

 

Vậy $\boxed{(n,p)=(1,p),(2,2),(3,3) }$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 20-08-2013 - 17:39

[Karl Heinrich Marx]

bài này nếu để ý một chút thì sẽ đơn giản hơn rất nhiều.

Trước tiên xét $n=1$ thì với mọi $p$ đều thỏa mãn,

Với $p=2$ tìm được $n=1$ hoặc $n=2$

Với $p>2$ thì $n$ phải lẻ. Khi đó ta có thể viết $(p-1)^n+1=(p-1)^n-(-1)^n$

xét $q$ là một ước nguyên tố lẻ của $n$ khi đó ta có $v_q((p-1)^n-(-1)^n)=v_q(p)+v_q(n) \ge (p-1)v_q(n)$

Mà $p>2$ nên suy ra $v_q(p) \ge 1 \Rightarrow q=p$, dẫn đến $1 \ge (p-2)v_p(n) \Rightarrow n=p,p=3$

Giả thiết $n<2p$ có vẻ hơi thừa.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Karl Heinrich Marx: 20-08-2013 - 21:57

[Zaraki]

bài này nếu để ý một chút thì sẽ đơn giản hơn rất nhiều.

Trước tiên xét $n=1$ thì với mọi $p$ đều thỏa mãn,

Với $p=2$ tìm được $n=1$ hoặc $n=2$

Với $p>2$ thì $n$ phải lẻ. Khi đó ta có thể viết $(p-1)^n+1=(p-1)^n-(-1)^n$

xét $q$ là một ước nguyên tố lẻ của $n$ khi đó ta có $v_q((p-1)^n-(-1)^n)=v_q(p)+v_q(n) \ge (p-1)v_q(n)$

Mà $p>2$ nên suy ra $v_q(p) \ge 1 \Rightarrow q=p$, dẫn đến $1 \ge (p-2)v_p(n) \Rightarrow n=p,p=3$

Giả thiết $n<2p$ có vẻ hơi thừa.

Cái này em nghĩ nó không đúng đâu anh à, nếu muốn vận dụng thì ta phải có $q|p$.

[Karl Heinrich Marx]

Cái này em nghĩ nó không đúng đâu anh à, nếu muốn vận dụng thì ta phải có $q|p$.

uhm đúng là đl LTE cần cái đk này, lâu rồi ko làm toán a cũng quên đi ít nhiều rồi :-j để tìm một ước của $n$ mà cũng là ước của $p$ thì chọn ước nguyên tố nhỏ nhất của $n$ là cần thiết.

[Zaraki]

uhm đúng là đl LTE cần cái đk này, lâu rồi ko làm toán a cũng quên đi ít nhiều rồi :-j để tìm một ước của $n$ mà cũng là ước của $p$ thì chọn ước nguyên tố nhỏ nhất của $n$ là cần thiết.

Anh ơi, em đang tìm một số bài toán dùng phương pháp LTE (em có kiếm được một tài liệu của Amir bên Mathlinks), không biết anh có bài toán nào hay dùng LTE thì chia sẻ em với.

Em cảm ơn.

[Karl Heinrich Marx]

Anh ơi, em đang tìm một số bài toán dùng phương pháp LTE (em có kiếm được một tài liệu của Amir bên Mathlinks), không biết anh có bài toán nào hay dùng LTE thì chia sẻ em với.

Em cảm ơn.

Em có thể tìm đọc problem from the book của TiTu để biết thêm về cái LTE này (nó k có định lí ở trên đâu), có cả bài tập tự luyện. Tuy nhiên cần phân biệt đc cái nào là kĩ thuật kĩ năng mà đầu tư vào, còn như kiểu đl trên chỉ là kiến thức biết mà vận dụng vào kĩ năng thôi chứ chả ai đi luyện dùng định lí cả, chỉ tốn thời gian thôi. Như kiểu tập đi xe dĩ nhiên chỉ tập đi trên đường bằng, đường dốc, đường đá,... còn đường đến công viên chỉ là đến 1 lần cho biết khi cần thì đến chứ chả ai tập đến công viên mỗi ngày để nhắm mắt cũng đi đc đến đó cả, rất tốn thời gian

 

@Toàn: À, thực chất em đang viết một bài về pp này nên em cần sưu tầm các bài.    Em cảm ơn anh nhiều.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 21-08-2013 - 13:18

[tieutuhamchoi98]

Cho e hỏi định lý LTE là gì ạ>?

 

Hàm ord nữa ạ! 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tieutuhamchoi98: 24-08-2013 - 08:42