Chủ đề này có 6 trả lời

[ducthinh26032011]

Bài 1:Cho các số thực $a,b,c$.Chứng minh rằng:
$$(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}\geq 3(a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a)$$
Bài 2:Chứng minh rằng với mọi số thực $a,b,c$ ta có:
$$(a+b+c)^{4}+(b+c-a)^{4}+(c+a-b)^{4}+(a+b-c)^{4}\leq 28(a^{4}+b^{4}+c^{4})$$
Bài 3:Cho các số thực $x,y,z$ khác $1$ và $xyz=1$.Chứng minh rằng:
$$\frac{x^{2}}{(x-1)^{2}}+\frac{y^{2}}{(y-1)^{2}}+\frac{z^{2}}{(z-1)^{2}}\geq 1$$

[L Lawliet]

Bài 1:Cho các số thực $a,b,c$.Chứng minh rằng:
$$(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}\geq 3(a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a)$$

Bài 1 đã có ở đây.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 29-07-2012 - 21:24

[nthoangcute]

Bài 1:Cho các số thực $a,b,c$.Chứng minh rằng:
$$(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}\geq 3(a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a)\;\;\;\; (1)$$

Lời giải ngắn gọn của WhjteShadow:

Cách 1:
$(1)\Leftrightarrow \frac{1}{2}[(a^2-b^2-ab+2bc-ac)^2+(b^2-c^2-bc+2ca-ab)^2+(c^2-a^2-ca+2ab-bc)^2]\geq 0$
Cách 2:
$(1)\Leftrightarrow \frac{1}{6}[(a^2-2b^2+c^2+3bc-3ac)^2+(b^2-2c^2+a^2+3ca-3ab)^2+(c^2-2a^2+b^2+3ab-3bc)^2]\geq 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 29-07-2012 - 21:30

[hoangtrunghieu22101997]

Bài 3:
Đặt $\frac{x}{x-1}=a$
$\dfrac{y}{y-1}=b$
$\dfrac{z}{z-1}=c$

Ta có $\frac{a}{a-1}.\frac{b}{b-1}.\frac{c}{c-1}=1$
$\Leftrightarrow abc=(a-1)(b-1)(c-1)$
$\Leftrightarrow a+b+c=ab+bc+ca+1$

Xét hiệu
$a^2+b^2+c^2-1=a^2+b^2+c^2-2a-2b-2c+2ab+2bc+2ca+1=(a+b+c-1)^2 \ge 0$
Ta có đpcm.

[nthoangcute]

Bài 2:Chứng minh rằng với mọi số thực $a,b,c$ ta có:
$$(a+b+c)^4+(b+c-a)^4+(c+a-b)^4+(a+b-c)^4\leq 28(a^4+b^4+c^4) \;\;\;\; (1)$$

Lời giải ngắn gọn của WhjteShadow:

Cách 1: $(1)\Leftrightarrow 24(ab+bc+ca)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+12(b-c)^2(b+c-a)^2+12(c-a)^2(c+a-b)^2+12(a-b)^2(a+b-c)^2 \geq 0$

Cách 2: $(1) \Leftrightarrow 12(a^2-b^2)^2+12(b^2-c^2)^2+12(c^2-a^2)^2 \geq 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 29-07-2012 - 21:53

[ducthinh26032011]

Lời giải ngắn gọn của WhjteShadow:

Cách 1: $(1)\Leftrightarrow 24(ab+bc+ca)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+12(b-c)^2(b+c-a)^2+12(c-a)^2(c+a-b)^2+12(a-b)^2(a+b-c)^2 \geq 0$

Cách 2: $(1) \Leftrightarrow 12(a^2-b^2)^2+12(b^2-c^2)^2+12(c^2-a^2)^2 \geq 0$

Chỉ biến đổi tương đượng thôi sẽ dài lắm đấy.Với lại,sao biết $24(ab+bc+ca)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\geq 0$ hả Việt?

[nthoangcute]

Chỉ biến đổi tương đượng thôi sẽ dài lắm đấy.Với lại,sao biết $24(ab+bc+ca)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\geq 0$ hả Việt?

Đã bảo đây là lời giải của WhjteShadow mà !
Dùng S.O.S chắc ra điều phải chứng minh đó !