Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lollipop97: 29-07-2012 - 21:44
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = $\sqrt{\frac{AM}{AD}} + \sqrt{\frac{BM}{ME}} + \sqrt{\frac{CM}{MF}}$
#2
Đã gửi 29-07-2012 - 21:35
Mình nghĩ cái căn đầu tiên cũng giống hai cái căn sau là $\sqrt{\frac{AM}{DM}}$ thì phải?Cho tam giác ABC, gọi M là một điểm nằm bên trong tam giác. Các đường thẳng AM, BM, CM lần lượt cắt các cạnh BC, CA, AB tại D, E, F. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = $\sqrt{\frac{AM}{AD}} + \sqrt{\frac{BM}{ME}} + \sqrt{\frac{CM}{MF}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi henry0905: 29-07-2012 - 21:37
- triethuynhmath yêu thích
#3
Đã gửi 29-07-2012 - 21:44
hì. mình nhầm. cái đầu tiên là $\sqrt{\frac{AM}{MD}}$Mình nghĩ cái căn đầu tiên cũng giống hai cái căn sau là $\sqrt{\frac{AM}{DM}}$ thì phải?
#4
Đã gửi 29-07-2012 - 21:45
Mình cũng nghĩ là DM.Cho tam giác ABC, gọi M là một điểm nằm bên trong tam giác. Các đường thẳng AM, BM, CM lần lượt cắt các cạnh BC, CA, AB tại D, E, F. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = $\sqrt{\frac{AM}{AD}} + \sqrt{\frac{BM}{ME}} + \sqrt{\frac{CM}{MF}}$
Ta có :
Kẻ AH ,MK vuông góc BC tại H,K.
Ta có AH//MK => $\frac{MD}{AD}=\frac{MK}{AH}=\frac{\frac{1}{2}MK.BC}{\frac{1}{2}AH.BC}=\frac{S_{MBC}}{s_{ABC}}$
Thiết lập các đẳng thức tương tự rồi cộng vế theo vế,ta được
$\frac{MD}{AD}+\frac{ME}{BE}+\frac{MF}{CF}=\frac{S_{MBC}+S_{MAC}+S_{MAB}}{S_{ABC}}=1\Rightarrow 1-\frac{AM}{AD}+1-\frac{BM}{BE}+1-\frac{CM}{CF}=1\Rightarrow \frac{AM}{AD}+\frac{CM}{CF}+\frac{BM}{BE}=2$
$\Rightarrow \sum \sqrt{\frac{AM}{AD}}\leq \sqrt{3(\sum \frac{AM}{AD})}=\sqrt{6}$(BĐT $a+b+c\leq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}$)
Mặt khác,Ta có :
$\sqrt{6}(\sum \sqrt{\frac{AD}{AM}})\geq (\sum \sqrt{\frac{AM}{AD}})(\sum \sqrt{\frac{AD}{AM}})\geq 9\Rightarrow \sum \sqrt{\frac{AD}{AM}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}(Q.E.D)$(chỗ này là dùng BĐT $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 9$
Dấu = xảy ra khi M là trọng tâm tam giác ABC.
Hình vẽ:
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi triethuynhmath: 29-07-2012 - 21:48
- BlackSelena, Tru09 và Oral1020 thích
TRIETHUYNHMATH
___________________________
08/12/1997
#5
Đã gửi 29-07-2012 - 21:52
Gọi $S_{AMB}=S_{1},S_{AMC}=S_{2},S_{BMC}=S_{3}$
Ta có:
$\sqrt{\frac{AM}{DM}}+\sqrt{\frac{BM}{EM}}+\sqrt{\frac{CM}{FM}}=\sqrt{\frac{S_{1}+S_{2}}{S_{3}}}+\sqrt{\frac{S_{1}+S_{3}}{S_{2}}}+\sqrt{\frac{S_{3}+S_{2}}{S_{1}}}$
$\geq \sum \sqrt{\frac{(\sqrt{S_{1}}+\sqrt{S_{2}})^{2}}{2S_{3}}}$
$=\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{\sqrt{S_{1}}+\sqrt{S_{2}}}{\sqrt{S_{3}}}+\frac{\sqrt{S_{1}}+\sqrt{S_{3}}}{\sqrt{S_{2}}}+\frac{\sqrt{S_{2}}+\sqrt{S_{3}}}{\sqrt{S_{1}}})$$=\frac{1}{\sqrt{2}}.6=3\sqrt{2}$
Dấu bằng xảy ra khi M là trọng tâm
Mình nghĩ dấu bằng xảy ra khi $P=3\sqrt{2}$ chứ nhỉ?Mình cũng nghĩ là DM.
Ta có :
Kẻ AH ,MK vuông góc BC tại H,K.
Ta có AH//MK => $\frac{MD}{AD}=\frac{MK}{AH}=\frac{\frac{1}{2}MK.BC}{\frac{1}{2}AH.BC}=\frac{S_{MBC}}{s_{ABC}}$
Thiết lập các đẳng thức tương tự rồi cộng vế theo vế,ta được
$\frac{MD}{AD}+\frac{ME}{BE}+\frac{MF}{CF}=\frac{S_{MBC}+S_{MAC}+S_{MAB}}{S_{ABC}}=1\Rightarrow 1-\frac{AM}{AD}+1-\frac{BM}{BE}+1-\frac{CM}{CF}=1\Rightarrow \frac{AM}{AD}+\frac{CM}{CF}+\frac{BM}{BE}=2$
$\Rightarrow \sum \sqrt{\frac{AM}{AD}}\leq \sqrt{3(\sum \frac{AM}{AD})}=\sqrt{6}$(BĐT $a+b+c\leq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}$)
Mặt khác,Ta có :
$\sqrt{6}(\sum \sqrt{\frac{AD}{AM}})\geq (\sum \sqrt{\frac{AM}{AD}})(\sum \sqrt{\frac{AD}{AM}})\geq 9\Rightarrow \sum \sqrt{\frac{AD}{AM}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}(Q.E.D)$(chỗ này là dùng BĐT $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 9$
Dấu = xảy ra khi M là trọng tâm tam giác ABC.
Hình vẽ:
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi henry0905: 29-07-2012 - 21:56
- nhatoanhocVuVanKhoi và Oral1020 thích
#6
Đã gửi 29-07-2012 - 21:59
Mình nghĩ P = 3$\sqrt{2}$ như bạn henry0905 nóiMình cũng nghĩ là DM.
Ta có :
Kẻ AH ,MK vuông góc BC tại H,K.
Ta có AH//MK => $\frac{MD}{AD}=\frac{MK}{AH}=\frac{\frac{1}{2}MK.BC}{\frac{1}{2}AH.BC}=\frac{S_{MBC}}{s_{ABC}}$
Thiết lập các đẳng thức tương tự rồi cộng vế theo vế,ta được
$\frac{MD}{AD}+\frac{ME}{BE}+\frac{MF}{CF}=\frac{S_{MBC}+S_{MAC}+S_{MAB}}{S_{ABC}}=1\Rightarrow 1-\frac{AM}{AD}+1-\frac{BM}{BE}+1-\frac{CM}{CF}=1\Rightarrow \frac{AM}{AD}+\frac{CM}{CF}+\frac{BM}{BE}=2$
$\Rightarrow \sum \sqrt{\frac{AM}{AD}}\leq \sqrt{3(\sum \frac{AM}{AD})}=\sqrt{6}$(BĐT $a+b+c\leq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}$)
Mặt khác,Ta có :
$\sqrt{6}(\sum \sqrt{\frac{AD}{AM}})\geq (\sum \sqrt{\frac{AM}{AD}})(\sum \sqrt{\frac{AD}{AM}})\geq 9\Rightarrow \sum \sqrt{\frac{AD}{AM}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}(Q.E.D)$(chỗ này là dùng BĐT $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 9$
Dấu = xảy ra khi M là trọng tâm tam giác ABC.
Hình vẽ:
#7
Đã gửi 19-01-2013 - 21:09
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh