6 replies to this topic

[lollipop97]

Cho tam giác ABC, gọi M là một điểm nằm bên trong tam giác. Các đường thẳng AM, BM, CM lần lượt cắt các cạnh BC, CA, AB tại D, E, F. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = $\sqrt{\frac{AM}{MD}} + \sqrt{\frac{BM}{ME}} + \sqrt{\frac{CM}{MF}}$

Edited by lollipop97, 29-07-2012 - 21:44.

[henry0905]

Cho tam giác ABC, gọi M là một điểm nằm bên trong tam giác. Các đường thẳng AM, BM, CM lần lượt cắt các cạnh BC, CA, AB tại D, E, F. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = $\sqrt{\frac{AM}{AD}} + \sqrt{\frac{BM}{ME}} + \sqrt{\frac{CM}{MF}}$

Mình nghĩ cái căn đầu tiên cũng giống hai cái căn sau là $\sqrt{\frac{AM}{DM}}$ thì phải?

Edited by henry0905, 29-07-2012 - 21:37.

[lollipop97]

Mình nghĩ cái căn đầu tiên cũng giống hai cái căn sau là $\sqrt{\frac{AM}{DM}}$ thì phải?

hì. mình nhầm. cái đầu tiên là $\sqrt{\frac{AM}{MD}}$

[triethuynhmath]

Cho tam giác ABC, gọi M là một điểm nằm bên trong tam giác. Các đường thẳng AM, BM, CM lần lượt cắt các cạnh BC, CA, AB tại D, E, F. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = $\sqrt{\frac{AM}{AD}} + \sqrt{\frac{BM}{ME}} + \sqrt{\frac{CM}{MF}}$

Mình cũng nghĩ là DM.
Ta có :
Kẻ AH ,MK vuông góc BC tại H,K.
Ta có AH//MK => $\frac{MD}{AD}=\frac{MK}{AH}=\frac{\frac{1}{2}MK.BC}{\frac{1}{2}AH.BC}=\frac{S_{MBC}}{s_{ABC}}$
Thiết lập các đẳng thức tương tự rồi cộng vế theo vế,ta được
$\frac{MD}{AD}+\frac{ME}{BE}+\frac{MF}{CF}=\frac{S_{MBC}+S_{MAC}+S_{MAB}}{S_{ABC}}=1\Rightarrow 1-\frac{AM}{AD}+1-\frac{BM}{BE}+1-\frac{CM}{CF}=1\Rightarrow \frac{AM}{AD}+\frac{CM}{CF}+\frac{BM}{BE}=2$
$\Rightarrow \sum \sqrt{\frac{AM}{AD}}\leq \sqrt{3(\sum \frac{AM}{AD})}=\sqrt{6}$(BĐT $a+b+c\leq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}$)
Mặt khác,Ta có :
$\sqrt{6}(\sum \sqrt{\frac{AD}{AM}})\geq (\sum \sqrt{\frac{AM}{AD}})(\sum \sqrt{\frac{AD}{AM}})\geq 9\Rightarrow \sum \sqrt{\frac{AD}{AM}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}(Q.E.D)$(chỗ này là dùng BĐT $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 9$
Dấu = xảy ra khi M là trọng tâm tam giác ABC.
Hình vẽ:

Edited by triethuynhmath, 29-07-2012 - 21:48.

[henry0905]

Giải luôn vậy
Gọi $S_{AMB}=S_{1},S_{AMC}=S_{2},S_{BMC}=S_{3}$
Ta có:
$\sqrt{\frac{AM}{DM}}+\sqrt{\frac{BM}{EM}}+\sqrt{\frac{CM}{FM}}=\sqrt{\frac{S_{1}+S_{2}}{S_{3}}}+\sqrt{\frac{S_{1}+S_{3}}{S_{2}}}+\sqrt{\frac{S_{3}+S_{2}}{S_{1}}}$
$\geq \sum \sqrt{\frac{(\sqrt{S_{1}}+\sqrt{S_{2}})^{2}}{2S_{3}}}$
$=\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{\sqrt{S_{1}}+\sqrt{S_{2}}}{\sqrt{S_{3}}}+\frac{\sqrt{S_{1}}+\sqrt{S_{3}}}{\sqrt{S_{2}}}+\frac{\sqrt{S_{2}}+\sqrt{S_{3}}}{\sqrt{S_{1}}})$$=\frac{1}{\sqrt{2}}.6=3\sqrt{2}$
Dấu bằng xảy ra khi M là trọng tâm

Mình cũng nghĩ là DM.
Ta có :
Kẻ AH ,MK vuông góc BC tại H,K.
Ta có AH//MK => $\frac{MD}{AD}=\frac{MK}{AH}=\frac{\frac{1}{2}MK.BC}{\frac{1}{2}AH.BC}=\frac{S_{MBC}}{s_{ABC}}$
Thiết lập các đẳng thức tương tự rồi cộng vế theo vế,ta được
$\frac{MD}{AD}+\frac{ME}{BE}+\frac{MF}{CF}=\frac{S_{MBC}+S_{MAC}+S_{MAB}}{S_{ABC}}=1\Rightarrow 1-\frac{AM}{AD}+1-\frac{BM}{BE}+1-\frac{CM}{CF}=1\Rightarrow \frac{AM}{AD}+\frac{CM}{CF}+\frac{BM}{BE}=2$
$\Rightarrow \sum \sqrt{\frac{AM}{AD}}\leq \sqrt{3(\sum \frac{AM}{AD})}=\sqrt{6}$(BĐT $a+b+c\leq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}$)
Mặt khác,Ta có :
$\sqrt{6}(\sum \sqrt{\frac{AD}{AM}})\geq (\sum \sqrt{\frac{AM}{AD}})(\sum \sqrt{\frac{AD}{AM}})\geq 9\Rightarrow \sum \sqrt{\frac{AD}{AM}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}(Q.E.D)$(chỗ này là dùng BĐT $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 9$
Dấu = xảy ra khi M là trọng tâm tam giác ABC.
Hình vẽ:

Mình nghĩ dấu bằng xảy ra khi $P=3\sqrt{2}$ chứ nhỉ?

Edited by henry0905, 29-07-2012 - 21:56.

[lollipop97]

Mình cũng nghĩ là DM.
Ta có :
Kẻ AH ,MK vuông góc BC tại H,K.
Ta có AH//MK => $\frac{MD}{AD}=\frac{MK}{AH}=\frac{\frac{1}{2}MK.BC}{\frac{1}{2}AH.BC}=\frac{S_{MBC}}{s_{ABC}}$
Thiết lập các đẳng thức tương tự rồi cộng vế theo vế,ta được
$\frac{MD}{AD}+\frac{ME}{BE}+\frac{MF}{CF}=\frac{S_{MBC}+S_{MAC}+S_{MAB}}{S_{ABC}}=1\Rightarrow 1-\frac{AM}{AD}+1-\frac{BM}{BE}+1-\frac{CM}{CF}=1\Rightarrow \frac{AM}{AD}+\frac{CM}{CF}+\frac{BM}{BE}=2$
$\Rightarrow \sum \sqrt{\frac{AM}{AD}}\leq \sqrt{3(\sum \frac{AM}{AD})}=\sqrt{6}$(BĐT $a+b+c\leq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}$)
Mặt khác,Ta có :
$\sqrt{6}(\sum \sqrt{\frac{AD}{AM}})\geq (\sum \sqrt{\frac{AM}{AD}})(\sum \sqrt{\frac{AD}{AM}})\geq 9\Rightarrow \sum \sqrt{\frac{AD}{AM}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}(Q.E.D)$(chỗ này là dùng BĐT $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 9$
Dấu = xảy ra khi M là trọng tâm tam giác ABC.
Hình vẽ:

Mình nghĩ P = 3$\sqrt{2}$ như bạn henry0905 nói

[prince123456]

hay