Cho đa thức $f(x)=x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+...+a_{n}$ với các hệ số nguyên và các số nguyên $k, p$. Chứng minh rằng nếu trong tất cả các số $f(k),f(k+1),...f(k+p)$ không có số nào chia hết cho $p+1$ thì phương trình $f(x)=0$ không có nghiệm nguyên
$f(k),f(k+1),...f(k+p)$ không có số nào chia hết cho $p+1$ thì phương trình $f(x)=0$ không có nghiệm nguyên
1 Bình chọn
Bắt đầu bởi 19kvh97, 30-07-2012 - 21:53
tc chia hết
#2
Đã gửi 31-07-2012 - 14:58
hoangtrunghieu22101997
-
- Thành viên
-
- 206 Bài viết
Thượng sĩ
Giả sử phương trình $f(x)=0$ có nghiệm nguyên:a
$\rightarrow f(a)=0.$
$f(k)-f(a) \vdots k-a$
$\Leftrightarrow f(k) \vdots k-a$
Tương tự:
$f(k+1) \vdots k+1-a$
$f(k+2) \vdots k+2-a$
....
$f(k+p) \vdots k+p-a$
Trong $p+1$ số nguyên liên tiếp:$k-a;k+1-a;k+2-a;...;k+p-a$
Tồn tại ít nhất 1 số chia hết cho $p+1$
Mâu thuẫn giả thiết
$\Rightarrow $Giả sử sai
$\rightarrow$ đpcm.
$\rightarrow f(a)=0.$
$f(k)-f(a) \vdots k-a$
$\Leftrightarrow f(k) \vdots k-a$
Tương tự:
$f(k+1) \vdots k+1-a$
$f(k+2) \vdots k+2-a$
....
$f(k+p) \vdots k+p-a$
Trong $p+1$ số nguyên liên tiếp:$k-a;k+1-a;k+2-a;...;k+p-a$
Tồn tại ít nhất 1 số chia hết cho $p+1$
Mâu thuẫn giả thiết
$\Rightarrow $Giả sử sai
$\rightarrow$ đpcm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrunghieu22101997: 31-07-2012 - 14:58
- perfectstrong và 19kvh97 thích
Sự im lặng du dương hơn bất kỳ bản nhạc nào.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
