Chủ đề này có 2 trả lời

[Beautifulsunrise]

Cho a, b, x, y là các số tự nhiên lớn hơn 1 thỏa mãn $x^a=y^b$ và (a, b)=1. CMR: $x=n^b$ và $y=n^a$ với n là số tự nhiên lớn hơn 1.

[nguyenta98]

Cho a, b, x, y là các số tự nhiên lớn hơn 1 thỏa mãn $x^a=y^b$ và (a, b)=1. CMR: $x=n^b$ và $y=n^a$ với n là số tự nhiên lớn hơn 1.

Bài này có lẽ anh bị nhầm rồi, $x=n^b$ và $y=n^a$ chỉ là một trường hợp nhỏ của bài này thôi, bài này đáp số phải là $x=n^u$ và $y=n^v$ và $au=bv$ thì vẫn thỏa đề mà
Giải như sau:
Đặt $gcd(x,y)=d \Rightarrow x=dm,y=dn,gcd(m,n)=1$
WLOG giả sử $a>b$ ($a\neq b$ do $gcd(a,b)=1$)
Do đó $d^a.m^a=d^b=n^b \Rightarrow d^{a-b}.m^a=n^b$
$\Rightarrow n^b \vdots m^a$ mà $gcd(m,n)=1 \Rightarrow m=1$
Khi ấy suy ra $x=d$ và $y=dn$ và $d^{a-b}=n^b$
Đặt $d=x',n=y'$ và $a-b=a',b=b'$
Như vậy $x'^{a'}=y'^{b'}$
Chứng minh hoàn toàn tương tự ta cũng có $x' \vdots y'$ hoặc $y' \vdots x'$ và khi ấy $x'=y'k$ hoặc $y'=x'k$
Như vậy $x=x'.x'.k$ hoặc $y=y'.y'.k$ $(1)$
Lập luận tương tự cho đến cuối cùng ta thấy $a',b'$ sẽ dần nhỏ dần cho đến khi còn $(a',b')=(1,b'),(a',1)$
Lúc ấy giả sử $x_k=y_k^{b'}$ hay khi đó $x_k$ là một lũy thừa đúng, mà theo $(1)$ và lối lùi vô hạn suy ra ngay $x,y$ mỗi số là lũy thừa đúng của một số tự nhiên, khi đó giả sử $x=n^u,y=n^v$
Suy ra $x^a=y^b \Rightarrow (n^u)^a=(n^v)^b \Rightarrow n^{ua}=n^{bv} \Rightarrow ua=bv$
Mà $gcd(b,a)=1$ mà $ua \vdots b \Rightarrow u=bk \Rightarrow b=ak$
Vậy $\boxed{x=n^{bk},y=n^{ak}}$ với $gcd(a,b)=1$, $k \in \mathbb N^*$

[Secrets In Inequalities VP]

Cho a, b, x, y là các số tự nhiên lớn hơn 1 thỏa mãn $x^a=y^b$ và (a, b)=1. CMR: $x=n^b$ và $y=n^a$ với n là số tự nhiên lớn hơn 1.

Có thể giải bài này bằng Bổ đề Berzout nhu sau :
Vì $gcd(a,b)=1$ nên tồn tại u,v sao cho $au-bv= 1$
Ta có : $x= x^{1}= x^{au-bv}= \frac{x^{au}}{x^{bv}}= \frac{y^{bu}}{x^{bv}}= (\frac{y^{u}}{x^{v}})^{b}$
Suy ra : $\sqrt[b]{x}= \frac{y^u}{x^v}$
Vì $\sqrt[b]{x}$ là số huu tỉ nên nó phải là số nguyên
$\Rightarrow n= \frac{y^{u}}{x^{v}} \in \mathbb N^*$
Suy ra $x=n^{b}\Rightarrow y^{b}= x^{a}= n^{ab}\Rightarrow y= n^{a}$

Bổ đề Berzout : http://diendantoanhoc.net/index.php?/topic/63807-d%E1%BB%8Bnh-ly-th%E1%BA%B7ng-d%C6%B0-trung-hoa/

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Secrets In Inequalities VP: 31-07-2012 - 08:15