Chủ đề này có 6 trả lời

[minhdat881439]

Bài toán
Cho a < b < c < d là bốn số thực tùy ý.Với giá trị nào của x ta có biểu thức: f(x)=$\left | x-a \right |+\left | x-b \right |+\left | x-c \right |+\left | x-d \right |$ đạt giá trị nhỏ nhất
Sau khi giải xong vấn đề này chúng ta nên đưa luôn bài toán tổng quát cho n số thực

[hamdvk]

Bài toán
Cho a < b < c < d là bốn số thực tùy ý.Với giá trị nào của x ta có biểu thức: f(x)=$\left | x-a \right |+\left | x-b \right |+\left | x-c \right |+\left | x-d \right |$ đạt giá trị nhỏ nhất
Sau khi giải xong vấn đề này chúng ta nên đưa luôn bài toán tổng quát cho n số thực

Ta có
$f(x)=(\left | x-a \right |+\left | d-x \right |)+(\left | x-c \right |+\left | b-x \right |)$
.$\geq \left | x-a+d-x \right |+\left | x-c+b-x \right |=\left | d-a \right |+\left | b-c \right |=d-a+c-b$ (không đổi )
Dấu = xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} (x-a)(x-d)\leq 0\\ (x-b)(x-c)\leq 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a\leq x \leq d \\ b\leq x \leq c \end{matrix}\right. \Leftrightarrow b\leq x\leq c$
Vậy $f(x)min=d-a+c-b$ đạt khi $ b\leq x\leq c$

[hamdvk]

Bài toán 2. Cho a<b<c<d<e là 5 số thực tuỳ ý . Tìm min
$f(x)=\left | x-a \right |+\left | x-b \right |+\left | x-c \right |+ \left | x-d \right | +\left | x-e \right |$
( trường hợp n lẻ )

[Tru09]

Bài 2 nè :
Bài làm :
$f(x)=(|x-a| +|e-x|)+(|x-b|+|d-x|)+|x-c| \geq |e-a| +|b-d|+|x-c| \geq e-a+b-d$
Dấu "=" sảy ra $\leftrightarrow (x-a)(x-e) \leq 0 $và$ \leftrightarrow (x-b)(x-d) \leq 0 $và$ x=c$
$\leftrightarrow x=c$

[19kvh97]

Bài toán 2. Cho a<b<c<d<e là 5 số thực tuỳ ý . Tìm min
$f(x)=$\left | x-a \right |+\left | x-b \right |+\left|x-c\right|+ \left | x-d \right | +\left | x-e \right |$
( trường hợp n lẻ )

ta có $\left | x-c \right |\geq 0$ ĐTXR khi $x=c$
mà dễ cm $\left | x-a \right |+\left | x-b \right |+ \left | x-d \right | +\left | x-e \right |\geq e-a+d-b$
suy ra $f(x)\geq e-a+d-b$ ĐTXR khi $x=c$ và $b\leq x\leq d$ suy ra $x=c$

[minhdat881439]

Ta đến với bài toán tổng quát sau:
Cho n số thực $a_{1}<a_{2}<...<a_{n}$.Với giá trị nào của x thì biểu thức f(x)=$\left | x-a_{1} \right |+\left | x-a_{2} \right |+...+\left | x-a_{n} \right |$ đạt giá trị nhỏ nhất

[Tru09]

Ta đến với bài toán tổng quát sau:
Cho n số thực $a_{1}<a_{2}<...<a_{n}$.Với giá trị nào của x thì biểu thức f(x)=$\left | x-a_{1} \right |+\left | x-a_{2} \right |+...+\left | x-a_{n} \right |$ đạt giá trị nhỏ nhất

Giải như 2 bài trên với tổng quát :
Nếu n chẵn thì gọi số cặp số ở giữa là |x-k| +|x-k'| với k' >k
$f(x) =|x-a|+|n-x| +|x-b| +|n-1-x| +....+|x-k| +|k' -x| \geq (n +n-1 +n-2 +....+k') -(a+b+c+...+k)$
Dâu$"="$ sảy ra $\leftrightarrow k \leq x \leq k'$
Vậy $Min f(x_{chẵn}) =(n +n-1 +n-2 +....+k') -(a+b+c+...+k) $
Nếu n lẻ thì gọi số ở giữa là $|x-k''|$ với $k<k''<k'$
Ta có$ f(x) =|x-a|+|n-x| +|x-b| +|n-1-x| +....+|x-k| +|k' -x|+|x-k''| \geq (n+(n-1)+,,,+k')-(a+b+c+...+k) +|x-k''|\geq (n+(n-1)+,,,+k')-(a+b+c+...+k)$
Dâu $=$ sảy ra$ \leftrightarrow x=k''$
$Min f(x_{lẻ}) =(n +n-1 +n-2 +....+k') -(a+b+c+...+k) $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tru09: 31-07-2012 - 16:52