Chủ đề này có 4 trả lời

[minhdat881439]

Chứng minh rằng nếu a,b,c là ba số thỏa mãn a+b+c=2000 và$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2000}$ thì một trong các số a,b,c phải có một số bằng 2000

[hoangtrunghieu22101997]

Vì $a+b+c=2000$
$\Leftrightarrow a=2000-b-c$
Thay vào phương trình dưới ta có:
$\frac{1}{2000-b-c}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2000}$
$\Leftrightarrow 2000[bc+(2000-b-c)(b+c)]=bc(2000-b-c)$
$\Leftrightarrow (b+c)(b-2012)(c-2012)=0$
Ta có đpcm.

[19kvh97]

Chứng minh rằng nếu a,b,c là ba số thỏa mãn a+b+c=2000 và$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2000}$ thì một trong các số a,b,c phải có một số bằng 2000

theo đề ta có $a+b+c=2000$ suy ra $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}$
khử mẫu ta được$(a+b)(b+c)(c+a)=0$ suy ra ít nhất có 1 tổng của 2 trong 3 số đó bằng 0 suy ra đpcm

[henry0905]

Chứng minh rằng nếu a,b,c là ba số thỏa mãn a+b+c=2000 và$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2000}$ thì một trong các số a,b,c phải có một số bằng 2000

Tổng quát
a+b+c=x và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{x}(x\neq 0)$ thì có ít nhất một số =x
Ta có:
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{x}\Leftrightarrow \frac{a+b}{ab}=\frac{c-x}{cx}$
$\Leftrightarrow \frac{x-c}{ab}=\frac{c-x}{cx}$
$\Leftrightarrow c=x$
Vì a,b,c có vai trò tương đương nhau nên ta có dpcm

[Mouse Porcupine]

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c} \rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a+b+c}-\frac{1}{c}$
Quy đồng ta được (a+b)(b+c)(c+a)=0
Nếu a+b=0→c=2000
Nếu a+c=0→b=2000
Nếu b+c=0→a=2000
→Điều phải chứng minh