5 replies to this topic

[perfectstrong]

Đề mới kiểm tra đội tuyển hồi sáng

Đề bài: Cho $\vartriangle ABC$ nội tiếp $(O)$ có $H$ là trực tâm. $D$ là chân đường cao hạ từ $B$. $P$ là 1 điểm di động trên $(O)$. Gọi $Q,R,S$ là các điểm đối xứng với $P$ tương ứng qua trung điểm $AB,AC,BC$. $QA$ cắt $HR$ tại $F$.
Chứng minh rằng: $HS \perp DF$


Sorry, đánh đề bị sót

Edited by perfectstrong, 31-07-2012 - 17:00.

[duongchelsea]

Sao đề bài ko thấy điểm D vậy ta???

[anh qua]

Đề mới kiểm tra đội tuyển hồi sáng

Đề bài: Cho $\vartriangle ABC$ nội tiếp $(O)$ có $H$ là trực tâm. $D$ là chân đường cao hạ từ $B$. $P$ là 1 điểm di động trên $(O)$. Gọi $Q,R,S$ là các điểm đối xứng với $P$ tương ứng qua trung điểm $AB,AC,BC$. $QA$ cắt $HR$ tại $F$.
Chứng minh rằng: $HS \perp DF$


Sorry, đánh đề bị sót

Gọi $M_{a};M_{b};M_{c}$ lần lượt là trung điểm của $BC;CA;AB$.
Phép vị tự tâm P tỉ số 2 biến tam giác $M_{a}M_{b}M_{c}$ thành tam giác $PQR$, biến $O$ thành điểm $L$ đối xứng với $P$ qua O. (chú ý thêm (O) là trực tâm của tam giác $M_{a}M_{b}M_{c}$)
Do đó tứ giác $QRHS $ nội tiếp và $A$ là trực tâm của tam giác $QRH$.
Suy ra:$ \widehat{HFA} = 90^o$.
Nên tứ giác $AFDH$ nội tiếp.
Từ đây dễ dàng có đpcm.


@ Hân: Sửa hộ tớ phát, không biết up hình lên trực tiếp!

Attached Files

•  Đà Nẵng.bmp   708.81KB   71 downloads

Edited by perfectstrong, 01-08-2012 - 14:09.

[perfectstrong]

Hân làm bằng cách khác
Chứng minh $(R,Q,S,H);(Q,A,S,B);(R,A,S,C)$ đồng viên rồi cũng suy ra $A$ là trực tâm $\vartriangle HRQ$.
Bài này dùng góc định hướng để tổng quát hơn

[dieuhuonga1k42]

tại răng tứ giác QRHS nội tiếp ????

[thukilop]

tại răng tứ giác QRHS nội tiếp ????

Do O trực tâm $\Delta M_{a}M_{b}M_{c}$, qua phép vị tự => L trực tâm tam giác QRS. Mà $\Delta M_{a}M_{b}M_{c}$ đồng dạng $\Delta ABC$ => tồn tại một phép biến hình Z biến $\Delta ABC$ thành $\Delta SRQ$. Vì H trực tâm $\Delta ABC$ => Z(H)=L ; Z(A)=S; Z(B)=R; Z(C)=Q => $\angle RHQ=\angle BLC=\angle BAC=\angle M_{c}M_{a}M_{b}=\angle RSQ$ => 4 điểm Q,R,S,H đồng viên 

p/s: mod fix lỗi latex cuối với...

Edited by WhjteShadow, 12-04-2014 - 09:30.