Chủ đề này có 1 trả lời

[dark templar]

Bài toán: Cho $p \in \mathbb{P}(p \neq 2)$ và $a,b$ là các số tự nhiên lẻ sao cho $(a+b) \vdots p; (a-b) \vdots (p-1)$.Chứng minh rằng:$(a^{b}+b^{a}) \vdots 2p$.

[dactai10a1]

Bài toán: Cho $p \in \mathbb{P}(p \neq 2)$ và $a,b$ là các số tự nhiên lẻ sao cho $(a+b) \vdots p; (a-b) \vdots (p-1)$.Chứng minh rằng:$(a^{b}+b^{a}) \vdots 2p$.

Không mất tổng quát giả sử $a \ge b$
Ta có ${a^b} + {b^a} = {a^b} + {b^b} + {b^b}({b^{a - b}} - 1)$
Nếu a=b thì từ p là số nguyên tố lẻ ta có $a + b \vdots p \Leftrightarrow 2b \vdots p \Rightarrow b \vdots p \Rightarrow {a^b} + {b^a} = 2{a^a} \vdots 2p$
Nếu $b \vdots p \Rightarrow a \vdots p \Rightarrow {a^b} + {b^a} \vdots p$ mà a,b là số lẻ $ \Rightarrow {a^b} + {b^a} \vdots 2p$
Nếu (b;p)=1 thì theo định lí Fecma nhỏ ta có ${b^{p - 1}} - 1 \vdots p \Rightarrow {b^{a - b}} - 1 \vdots {b^{p - 1}} - 1 \vdots p(do:a - b \vdots p - 1)$
Do b lẻ nên ${a^b} + {b^b} \vdots a + b \vdots p$
Suy ra ${a^b} + {b^a} \vdots p$ mà a,b lẻ nên ${a^b} + {b^a} \vdots 2p$
Suy ra đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dactai10a1: 31-07-2012 - 21:16