Chủ đề này có 4 trả lời

[nucnt772]

Cho hàm số: $y=\frac{x-2}{x+2}$ $(C)$.

a) Chứng minh rằng đồ thị hàm số nhận đường thằng $y=x+3$ làm trục đối xứng.
b) Xác định điểm M thuộc đồ thị sao cho tổng các khoảng cách từ M đến 2 trục đồ thị là nhỏ nhất.

[vantho302]

* Để làm câu a) ta đi vào phương pháp chung như sau:
Chứng minh đường thẳng $y = ax + b$ là trục đối xứng của đồ thị (C)
- Dựng đường thẳng (d') vuông góc với đường thẳng (d)
- Tìm điều kiện để phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d') luôn có 2 nghiệm phân biệt A và B
- Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB
- Nếu tọa độ M thỏa mãn phương trình đường thẳng (d) thì đường thẳng (d) chính là trục đối xứng của đồ thị hàm số (C)

a) Gọi (d') $y = - x + m$ là đường thẳng vuông góc với đường thẳng (d) $y = x + 3$
Phương trình hoành độ giao điểm của © và (d'):
$\frac{{x - 2}}{{x + 2}} = - x + m \Leftrightarrow {x^2} + \left( {3 - m} \right)x - 2 - 2m = 0$
Ta có $\Delta = {\left( {m + 1} \right)^2} + 16 > 0$ do đó © và (d') cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
Trung điểm I của đoạn thẳng AB có tọa độ:
$\left\{ \begin{array}{l}
{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \frac{{m - 3}}{2}\\
{y_I} = \frac{{3 + m}}{2}
\end{array} \right.$
Ta nhận ra rẳng điểm I thuộc vào đường thẳng (d) $y = x + 3$ nên đường thẳng (d) $y = x + 3$ là trục đối xứng của đồ thị ©
b) Xác định M thuộc © để tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất
Tọa độ $M\left( {{x_M};\frac{{{x_M} - 2}}{{{x_M} + 2}}} \right)$
$\begin{array}{l}
d\left( {M,Ox} \right) = \left| {\frac{{{x_M} - 2}}{{{x_M} + 2}}} \right|\\
d\left( {M,Oy} \right) = \left| {{x_M}} \right|
\end{array}$
$d\left( {M,Ox} \right) + d\left( {M,Oy} \right) = \left| {\frac{{{x_M} - 2}}{{{x_M} + 2}}} \right| + \left| {{x_M}} \right| \ge 2\sqrt {\left| {\frac{{{x_M} - 2}}{{{x_M} + 2}}} \right|\left| {{x_M}} \right|} $
$d\left( {M,Ox} \right) + d\left( {M,Oy} \right)$ nhỏ nhất khi và chỉ khi dấu "=" xảy ra $\left| {\frac{{{x_M} - 2}}{{{x_M} + 2}}} \right| = \left| {{x_M}} \right|$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x_M} - 2}}{{{x_M} + 2}} = {x_M}\\
\frac{{{x_M} - 2}}{{{x_M} + 2}} = - {x_M}
\end{array} \right. \Leftrightarrow x_M^2 + 3{x_M} - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_M} = \frac{{ - 3 - \sqrt {17} }}{2}\\
{x_M} = \frac{{ - 3 + \sqrt {17} }}{2}
\end{array} \right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vantho302: 01-08-2012 - 21:29

[nucnt772]

* Để làm câu a) ta đi vào phương pháp chung như sau:
Chứng minh đường thẳng $y = ax + b$ là trục đối xứng của đồ thị ©
- Dựng đường thẳng (d') vuông góc với đường thẳng (d)
- Tìm điều kiện để phương trình hoành độ giao điểm của © và (d') luôn có 2 nghiệm phân biệt A và B
- Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB
- Nếu tọa độ M thỏa mãn phương trình đường thẳng (d) thì đường thẳng (d) chính là trục đối xứng của đồ thị hàm số ©

a) Gọi (d') $y = - x + m$ là đường thẳng vuông góc với đường thẳng (d) $y = x + 3$
Phương trình hoành độ giao điểm của © và (d'):
$\frac{{x - 2}}{{x + 2}} = - x + m \Leftrightarrow {x^2} + \left( {3 - m} \right)x - 2 - 2m = 0$
Ta có $\Delta = {\left( {m + 1} \right)^2} + 16 > 0$ do đó © và (d') cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
Trung điểm I của đoạn thẳng AB có tọa độ:
$\left\{ \begin{array}{l}
{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \frac{{m - 3}}{2}\\
{y_I} = \frac{{3 + m}}{2}
\end{array} \right.$
Ta nhận ra rẳng điểm I thuộc vào đường thẳng (d) $y = x + 3$ nên đường thẳng (d) $y = x + 3$ là trục đối xứng của đồ thị ©
b) Xác định M thuộc © để tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất
Tọa độ $M\left( {{x_M};\frac{{{x_M} - 2}}{{{x_M} + 2}}} \right)$
$\begin{array}{l}
d\left( {M,Ox} \right) = \left| {\frac{{{x_M} - 2}}{{{x_M} + 2}}} \right|\\
d\left( {M,Oy} \right) = \left| {{x_M}} \right|
\end{array}$
$d\left( {M,Ox} \right) + d\left( {M,Oy} \right) = \left| {\frac{{{x_M} - 2}}{{{x_M} + 2}}} \right| + \left| {{x_M}} \right| \ge 2\sqrt {\left| {\frac{{{x_M} - 2}}{{{x_M} + 2}}} \right|\left| {{x_M}} \right|} $
$d\left( {M,Ox} \right) + d\left( {M,Oy} \right)$ nhỏ nhất khi và chỉ khi dấu "=" xảy ra $\left| {\frac{{{x_M} - 2}}{{{x_M} + 2}}} \right| = \left| {{x_M}} \right|$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x_M} - 2}}{{{x_M} + 2}} = {x_M}\\
\frac{{{x_M} - 2}}{{{x_M} + 2}} = - {x_M}
\end{array} \right. \Leftrightarrow x_M^2 + 3{x_M} - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_M} = \frac{{ - 3 - \sqrt {17} }}{2}\\
{x_M} = \frac{{ - 3 + \sqrt {17} }}{2}
\end{array} \right.$

Câu a) Trên hình vẽ ta thấy M là trung điểm AB, vậy sao bài làm bạn kết luận $I$ là trung điểm AB.
Câu b) Bạn làm sai rồi.
Ta gọi điểm M$(x;y)$ là điểm tùy ý thuộc ©. Ta xác định M sao cho $d=\left | x \right |+\left | y \right |$ đạt GTNN
Để ý điểm $M_{0}(0;-1).$ và tổng khoảng cách từ điểm $M_{0}$ đến 2 trục tòa độ là: $d_{0}=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nucnt772: 01-08-2012 - 22:31

[nucnt772]

Mình xin trả lời thắc mắc của bạn như sau: (Đọc thắc mắc của bạn mà mình thấy vui vui sao ấy )

b) Bạn xem thử cách mình nhé:
Gọi $M_{0}(0;-1)$ $\in ©$, và tổng khoảng cách từ $M_{0}$ đến 2 trục tòa độ là: $d_{0}=1$
© có 2 tiệm cận:
TCĐ: $x=-2$
TCN: $y=1$
_ Nếu $x_{M}\geq 2$ thì $y_{M}\geq 0$, ta có: $d\geq 2> d_{0}$ (loại)
_ Nếu $x_{M}< -2$ thì $y_{M}>1$, ta có: $d> 3> d_{o}$ (loại)

_ Xét trường hợp: $-2< x_{M}< 0$, $y_{M}< 0$
Ta có: $d=-x-y=-x-\frac{x-2}{x+2}$ $=\frac{-x^{2}-3x+2}{x+2}$

$\Rightarrow d'=\frac{-x^{2}-4x-8}{(x+2)^{2}}$ < 0

$\Rightarrow d$ giảm trong (-2;0)
$\Rightarrow d> 1=d_{0}$

_ Xét trường hợp: $0\leq x_{M}< 2$, $y_{M}< 0$
Ta có: $d=x-y$ = $x-\frac{x-2}{x+2}$ = $\frac{x^{2}+x+2}{x+2}$
$\Rightarrow d'=\frac{x^{2}+4x}{(x+2)^{2}}$
$d'=0$ $\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=-4$
Lập bảng biến thiên $\Rightarrow d\geq 1=d_{0}$
Vậy $d_{0}$ là giá trị nhỏ nhất của $d$.
Điểm M phải tìm là điểm $M_{0}(0;-1)$, giao điểm của đồ thị © và trục tung.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nucnt772: 02-08-2012 - 00:33

[vantho302]

Uhm, có thể do mình nhầm ở chỗ câu b). Mình có thể làm theo cách khác đơn giản hơn như sau
Giả sử $M\left( {{x_M};{y_M}} \right)$ là điểm thuộc đồ thị ©. Ta cần tìm M sao cho $d\left( M \right) = d\left( {M;Ox} \right) + d\left( {M;Oy} \right) = \left| {{x_M}} \right| + \left| {{y_M}} \right|$ là nhỏ nhất
Để ý rằng ${M_0}\left( {0; - 1} \right)$ là điểm thuộc © và có $d\left( {{M_0}} \right) = 1$
Do vậy ta chỉ xét các điểm $M\left( {{x_M};{y_M}} \right)$ với
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\left| {{x_M}} \right| < 1\\
\left| {{y_M}} \right| \le 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left| {{x_M}} \right| < 1\\
\left| {\frac{{{x_M} - 2}}{{{x_M} + 2}}} \right| \le 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left| {{x_M}} \right| < 1\\
\left| {{x_M} - 2} \right| \le \left| {{x_M} + 2} \right|
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow 0 \le {x_M} < 1
\end{array}$
Với $0 \le {x_M} < 1$ thì ${y_M} = \frac{{{x_M} - 2}}{{{x_M} + 2}} < 0$, do đó
$\begin{array}{l}
d\left( M \right) = d\left( {M;Ox} \right) + d\left( {M;Oy} \right) = \left| {{x_M}} \right| + \left| {{y_M}} \right|\\
= \left| {{x_M}} \right| + \left| {\frac{{{x_M} - 2}}{{{x_M} + 2}}} \right| = {x_M} - \frac{{{x_M} - 2}}{{{x_M} + 2}} = \left( {{x_M} + 2} \right) + \frac{4}{{{x_M} + 2}} - 3
\end{array}$
Áp dụng bất đẳng thức cosi cho 2 số dương $\left( {{x_M} + 2} \right)$ và $\frac{4}{{{x_M} + 2}}$ ta có:
$\left( {{x_M} + 2} \right) + \frac{4}{{{x_M} + 2}} - 3 \ge 2\sqrt {\left( {{x_M} + 2} \right)\frac{4}{{\left( {{x_M} + 2} \right)}}} - 3 = 1$
$\begin{array}{l}
d\left( M \right) = d\left( {M;Ox} \right) + d\left( {M;Oy} \right) = 1 \Leftrightarrow {x_M} + 2 = \frac{4}{{{x_M} + 2}}\\
\Leftrightarrow {\left( {{x_M} + 2} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_M} = 0 \Rightarrow {y_M} = - 1\\
{x_M} = - 4
\end{array} \right.
\end{array}$
Chú ý rằng: ${x_M} = -4$ (loại) do $0 \le {x_M} < 1$
Vậy giá trị M cần tìm là $M\left( {0; - 1} \right)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vantho302: 02-08-2012 - 01:22