Chủ đề này có 1 trả lời

[Beautifulsunrise]

Tìm tất cả các hàm số $ f, g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} $ thỏa mãn:
a) Nếu x < y thì $ f(x) < f(y) $
b) $ f(xy) = g(y)f(x)+f(y) $ với mọi $ x, y\in\mathbb{R} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhmetric: 31-07-2012 - 23:47

[The Gunner]

Tìm tất cả các hàm số $ f, g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} $ thỏa mãn:
a) Nếu x < y thì $ f(x) < f(y) $
b) $ f(xy) = g(y)f(x)+f(y) $ với mọi $ x, y\in\mathbb{R} $

Từ điều kiện a) suy ra $g(x)$ cũng là hàm tăng
mặt khác $f(xyz)=f(z)g(xy)+f(xy)$
$f(xyz)=f(xz)g(y)+f(y)=g(y)(f(z)g(x)+f(x))+f(y)=f(z)g(x)g(y)+f(xy)$
Suy ra $f(z)g(xy)=f(z)g(x)g(y)$
Vì $f(z)$ là hàm tăng nên suy ra $g(xy)=g(x)g(y)$
kết hợp với $g(x)$ tăng suy ra $g(x)=x^a$
từ đây suy ra $f(1)=1$ mặt khác $f(1)=f(1)g(1)+f(1)=2f(1)$
suy ra $f(1)=0$
ta có $f(xy)=f(x)g(y)+f(y)=f(y)(g(x)+f(x)$
suy ra $f(x)(g(y)-1)=f(y)(g(x)-1)$
với mọi $x,y$ khác 1 ta suy ra $\frac{f(x)}{g(x)-1}=\frac{f(y)}{g(y)-1}$
Suy ra $f(x)=b(g(x)-1)=bx^a-b$
vì $g(x)$ tăng với mọi $x$ nên $a$ lẻ
Còn $f$ tăng nên $b>0$
vậy $f(x)=b(g(x)-1)=bx^a-b$ và $g(x)=x^a$