3 replies to this topic

[uyenha]

cho 2 số nguyên dương a,b sao cho (4a² -1)² chia hết cho (4ab - 1).cmr a=b

[ntuan5]

$(4a^2-1)^2 \vdots 4a^2-1$
$\rightarrow (4a^2-1)^2 \ge 4a^2-1$ (1)
$(4a^2-1)^2 \vdots 4ab-1$
$\rightarrow (4a^2-1)^2 \ge 4ab-1$ (2)
Lấy $(2) - (1)$ và $(1)-(2)$ thì được điêu cần c/m.

[nguyenta98]

cho 2 số nguyên dương a,b sao cho (4a² -1)² chia hết cho (4ab - 1).cmr a=b

Bài này làm như bạn trên có vẻ nhầm rồi, BDT sao dùng được ở đây
Giải như sau:
Ta có $16a^4-8a^2+1 \vdots (4ab-1)$
$\Rightarrow 16a^4b^2-8a^2b^2+b^2 \vdots (4ab-1)$
$\Rightarrow 16a^4b^2-a^2+a^2-8a^2b^2+b^2 \vdots (4ab-1)$
$\Rightarrow a^2(16a^2b^2-1)+a^2+b^2-2-(8a^2b^2-2ab) \vdots (4ab-1)$
$\Rightarrow a^2+b^2-2ab \vdots (4ab-1) \Rightarrow a^2+b^2-2ab=k(4ab-1)$
$\Rightarrow a^2-a(4kb+2b)+b^2+k=0$ $(1)$
Giả sử $a>b$ nên giả sử $a,b$ là bộ nghiệm thỏa $a+b$ min của $(1)$
Theo đó suy ra tồn tại $a'$ cũng là nghiệm của $(1)$ mà $a'.a=b^2+k$ nên $a'>0$
Theo định lý Viete suy ra $a'+a=4kb+2b$ và $a'.a=b^2+k$
Vì $a,4kb$ nguyên suy ra $a'$ nguyên mà $a+b$ min nên $a'\geq a$ vì nếu không thì $a'+b<a+b$ vô lý
Mà theo định lý viete ta có ngay $a'=\dfrac{b^2+k}{a}$
Mà $a'\geq a \rightarrow \dfrac{b^2+k}{a} \geq a \Rightarrow k\geq a^2-b^2$
Thay vào đề bài ta có $(a-b)^2=k(4ab-1)=(a^2-b^2)(4ab-1)=(a-b)(a+b)(4ab-1)$
$\Rightarrow a-b\geq (a+b)(4ab-1)\geq a+b$
Do đó vô lý vì $a>b$
Nên điều giả sử là sai do đó $a=b$

P/S đã edit xong

Edited by nguyenta98, 05-08-2012 - 10:36.

[uyenha]

cái chỗ a'>=a phải thêm ĐK la` a' >0 mới đúng