Chủ đề này có 1 trả lời

[uyenha]

ta định nghĩa hình vuông tốt là 1 hình vuông có 4 đỉnh là các điểm nguyên,đồng thời đoạn thẳng nối tâm o và tất cả các điểm nguyên trên biên và trong hình vuông đó chứa ít nhất 1 điểm nguyên khác 2 đầu mút.cmr với mọi số nguyên dương n đều tồn tại một hình vuông tốt dạng n.n

[The Gunner]

Ta thấy một điểm $(x,y)$ thỏa mãn đoạn chứa đoạn này với tâm chứa ít nhất một điểm nguyên ngoài hai đầu mút là $gcd(x,y)>1$
Do đó để được một hình vuông thỏa mãn thì các điểm (x,y) nằm bên trong hoặc trên biên hình vuông có tọa độ $(x,y)$ thì $gcd(x,y)>$
Chọn các số nguyên tố đôi một khác nhau $p_{i_j}$ với $0 \leq i,j \leq n$
Xét hai hệ đồng dư
$\left\{ \begin{align}
& x\equiv 0\left( \bmod {{p}_{{{0}_{1}}}}{{p}_{{{0}_{2}}}}...{{p}_{{{0}_{n}}}} \right) \\
& x+i\equiv 0\left( \bmod {{p}_{{{i}_{1}}}}{{p}_{{{i}_{2}}}}...{{p}_{{{i}_{n}}}} \right),i=\overline{1,n} \\\end{align} \right.$
và
$\left\{ \begin{align}
& y\equiv 0\left( \bmod {{p}_{{{1}_{0}}}}{{p}_{{{2}_{0}}}}...{{p}_{{{n}_{0}}}} \right) \\
& y+i\equiv 0\left( \bmod {{p}_{{{1}_{i}}}}{{p}_{{{2}_{i}}}}...{{p}_{{{3}_{i}}}} \right),i=\overline{1,n} \\\end{align} \right.$
Theo định lí trung thặng dư Trung Hoa thì tồn tại $(x_0,y_0)$ thỏa mãn hệ đồng dư trên, nên ta có $gcd(x_0+i,y_0+j)>1$ với mọi $i,j=0,1,2,...,n$
do đó ta chỉ cần dựng hình vuông $n \times n$ với $(x_0,y_0)$ là đỉnh dưới cùng bên trái thì ta được hình vuông tốt