Chứng minh rằng với 2 số thực $a,b$ tùy ý, ta có $a^{4}+b^{4}\geq a^{3}b+ab^{3}$
#1
Posted 03-08-2012 - 10:35
2. Chứng minh rằng, nếu $a\geq 0 và b\geq 0$ thì
$\frac{a+b}{2}.\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\leq \frac{a^{3}+b^{3}}{2}$
- C a c t u s likes this
#2
Posted 03-08-2012 - 10:40
Chén ngay bài 2:1.Chứng minh rằng với 2 số thực a,b tùy ý, ta có $a^{4}+b^{4}\geq a^{3}b+ab^{3}$
2. Chứng minh rằng, nếu $a\geq 0 và b\geq 0$ thì
$\frac{a+b}{2}.\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\leq \frac{a^{3}+b^{3}}{2}$
$\frac{a+b}{2}.\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\leq \frac{a+b}{2} .(a^2 -ab +b^2)$
$\leftrightarrow \frac{a^{2}+b^{2}}{2} \leq (a^2 -ab +b^2)$ ( vì $a,b \geq 0 \rightarrow \frac{a+b}{2} \geq 0$)
$\leftrightarrow 0 \leq (a-b)^2$ (luôn đúng)
$\rightarrow DPCM$ dấu$ =$ sảy ra$\leftrightarrow a=b$
$a^{4}+b^{4}\geq a^{3}b+ab^{3}$1.Chứng minh rằng với 2 số thực a,b tùy ý, ta có $a^{4}+b^{4}\geq a^{3}b+ab^{3}$
$\leftrightarrow (a-b)(a^3 -b^3) \geq 0$
$\leftrightarrow (a-b)^2 .(a^2 +ab+b^2) \geq 0 $( luôn đúng do $a^2 +ab+b^2 =a^2 +2ab.\frac{1}{2} +\frac{1}{4}b^2 +\frac{3}{4}b^2 \geq 0$)
Dấu $= $sảy ra$ \leftrightarrow a=b$
Edited by BlackSelena, 04-08-2012 - 09:10.
- BlackSelena, ducthinh26032011, C a c t u s and 1 other like this
#3
Posted 03-08-2012 - 10:48
Bài 1:1.Chứng minh rằng với 2 số thực a,b tùy ý, ta có $a^{4}+b^{4}\geq a^{3}b+ab^{3}$
2. Chứng minh rằng, nếu $a\geq 0 và b\geq 0$ thì
$\frac{a+b}{2}.\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\leq \frac{a^{3}+b^{3}}{2}$
$a^4+b^4 \ge a^3b+ab^3$
$\Leftrightarrow a^4+b^4-a^3b-ab^3 \ge 0$
$\Leftrightarrow a^3(a-b)-b^3(a-b) \ge 0$
$\Leftrightarrow (a-b)(a^3-b^3) \ge 0$
$\Leftrightarrow (a-b)(a-b)(a^2+ab+b^2) \ge 0$
$\Leftrightarrow (a-b)^2(a^2+ab+b^2) \ge 0$ (Bất đẳng thức luôn đúng)
Do đó: $a^4+b^4 \ge a^3b+ab^3$
P.s: Chậm òi
Edited by C a c t u s, 03-08-2012 - 10:49.
- BlackSelena, ducthinh26032011, hamdvk and 1 other like this
Kỳ tích là tên gọi khác của sự nỗ lực
#4
Posted 03-08-2012 - 16:27
Đây là BĐT hoán vị nên bài này 2 dòng là ra1.Chứng minh rằng với 2 số thực a,b tùy ý, ta có $a^{4}+b^{4}\geq a^{3}b+ab^{3}$
Không mất tính tổng quát giả sử $a\geq b$ ta sử dụng BĐT với 2 dãy đơn điệu ngược chiều sau
$\left\{\begin{matrix} a,b\\ a^{3},b^{3} \end{matrix}\right.$
Khi đó ta có : $a^{4}+b^{4}=a.a^{3}+b.b^{3}\geq ab^{3}+ba^{3}$
----------
BĐT hoán vị bạn có thể xem tại phần Khai triển Abel và BĐT hoán vị trong " Sáng tạo BĐT "
- ducthinh26032011, C a c t u s and akaipro like this
~.......................................................~
$\Phi \frac{\because Nguyen Thai Ha\therefore }{14/07/97}\Phi$
~.............................................................................................~
#5
Posted 17-08-2012 - 15:42
đây là bất đẳng thức tổng quát: $a^{m+n}+b^{m+n}\geq a^{m}b^{n}+a^{n}b^{m}$1.Chứng minh rằng với 2 số thực a,b tùy ý, ta có $a^{4}+b^{4}\geq a^{3}b+ab^{3}$
- hamdvk likes this
Đừng sợ hãi khi phải đối đầu với một đối thủ mạnh hơn, mà hãy vui mừng vì bạn đã có cơ hội để chiến đấu hết mình
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users