Chủ đề này có 4 trả lời

[akaipro]

1.Chứng minh rằng với 2 số thực a,b tùy ý, ta có $a^{4}+b^{4}\geq a^{3}b+ab^{3}$
2. Chứng minh rằng, nếu $a\geq 0 và b\geq 0$ thì
$\frac{a+b}{2}.\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\leq \frac{a^{3}+b^{3}}{2}$

[Tru09]

1.Chứng minh rằng với 2 số thực a,b tùy ý, ta có $a^{4}+b^{4}\geq a^{3}b+ab^{3}$
2. Chứng minh rằng, nếu $a\geq 0 và b\geq 0$ thì
$\frac{a+b}{2}.\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\leq \frac{a^{3}+b^{3}}{2}$

Chén ngay bài 2:
$\frac{a+b}{2}.\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\leq \frac{a+b}{2} .(a^2 -ab +b^2)$
$\leftrightarrow \frac{a^{2}+b^{2}}{2} \leq (a^2 -ab +b^2)$ ( vì $a,b \geq 0 \rightarrow \frac{a+b}{2} \geq 0$)
$\leftrightarrow 0 \leq (a-b)^2$ (luôn đúng)
$\rightarrow DPCM$ dấu$ =$ sảy ra$\leftrightarrow a=b$

1.Chứng minh rằng với 2 số thực a,b tùy ý, ta có $a^{4}+b^{4}\geq a^{3}b+ab^{3}$

$a^{4}+b^{4}\geq a^{3}b+ab^{3}$
$\leftrightarrow (a-b)(a^3 -b^3) \geq 0$
$\leftrightarrow (a-b)^2 .(a^2 +ab+b^2) \geq 0 $( luôn đúng do $a^2 +ab+b^2 =a^2 +2ab.\frac{1}{2} +\frac{1}{4}b^2 +\frac{3}{4}b^2 \geq 0$)
Dấu $= $sảy ra$ \leftrightarrow a=b$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 04-08-2012 - 09:10

[C a c t u s]

1.Chứng minh rằng với 2 số thực a,b tùy ý, ta có $a^{4}+b^{4}\geq a^{3}b+ab^{3}$
2. Chứng minh rằng, nếu $a\geq 0 và b\geq 0$ thì
$\frac{a+b}{2}.\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\leq \frac{a^{3}+b^{3}}{2}$

Bài 1:
$a^4+b^4 \ge a^3b+ab^3$
$\Leftrightarrow a^4+b^4-a^3b-ab^3 \ge 0$
$\Leftrightarrow a^3(a-b)-b^3(a-b) \ge 0$
$\Leftrightarrow (a-b)(a^3-b^3) \ge 0$
$\Leftrightarrow (a-b)(a-b)(a^2+ab+b^2) \ge 0$
$\Leftrightarrow (a-b)^2(a^2+ab+b^2) \ge 0$ (Bất đẳng thức luôn đúng)
Do đó: $a^4+b^4 \ge a^3b+ab^3$
P.s: Chậm òi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi C a c t u s: 03-08-2012 - 10:49

[hamdvk]

1.Chứng minh rằng với 2 số thực a,b tùy ý, ta có $a^{4}+b^{4}\geq a^{3}b+ab^{3}$

Đây là BĐT hoán vị nên bài này 2 dòng là ra
Không mất tính tổng quát giả sử $a\geq b$ ta sử dụng BĐT với 2 dãy đơn điệu ngược chiều sau
$\left\{\begin{matrix} a,b\\ a^{3},b^{3} \end{matrix}\right.$
Khi đó ta có : $a^{4}+b^{4}=a.a^{3}+b.b^{3}\geq ab^{3}+ba^{3}$
----------
BĐT hoán vị bạn có thể xem tại phần Khai triển Abel và BĐT hoán vị trong " Sáng tạo BĐT "

[Tran Hong Tho]

1.Chứng minh rằng với 2 số thực a,b tùy ý, ta có $a^{4}+b^{4}\geq a^{3}b+ab^{3}$

đây là bất đẳng thức tổng quát: $a^{m+n}+b^{m+n}\geq a^{m}b^{n}+a^{n}b^{m}$