Chủ đề này có 1 trả lời

[uyenha]

tìm tất cả cặp SNT (p,q) thỏa 2p^q -q^p =7

[nguyenta98]

tìm tất cả cặp SNT (p,q) thỏa 2p^q -q^p =7

Bài này ngon
Giải như sau:
TH1: $p=q \Rightarrow 2p^p-p^p=7 \Rightarrow p^p=7$ suy ra vô lý
TH2: $p\neq q \Rightarrow gcd(p,q)=1$
Ta có $2p^q-q^p=7 \rightarrow 2p^q=q^p+7=q^{p-1}.q+7$
Theo Fermat nhỏ suy ra $q^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$ do đó $q^{p-1}.q+7 \equiv q+7 \pmod{p} \Rightarrow q+7 \vdots p$
Mặt khác $2p^q-7=q^p \Rightarrow 2p^{q-1}.p-7=q^p$
Theo Fermat nhỏ suy ra $p^{q-1} \equiv 1 \pmod{q} \Rightarrow 2p^{q-1}.p-7 \equiv 2p-7 \pmod{q} \Rightarrow 2p-7 \vdots q$
Do đó ta có hệ
$q+7 \vdots p$ $(1)$
$2p-7 \vdots q$
Từ $(1)$ ta có $q+7=pk$ với $k\geq 1$
Suy ra $q=pk-7$
Như vậy $2p-7 \vdots p \rightarrow 2p-7 \vdots pk-7 \Rightarrow 2p-7 \geq pk-7 \Rightarrow 2p\geq pk \Rightarrow 2\geq k$
Suy ra $k=1,2$
Nếu $k=1 \Rightarrow q+7=p \Rightarrow 2p-7 \vdots p-7 \Rightarrow 2p-14+7 \vdots p-7 \Rightarrow 14 \vdots p-7$ suy ra không có $p,q$
Nếu $k=2 \Rightarrow q+7=2p \Rightarrow 2p-7 \vdots 2p-7$ hiển nhiên
Như vậy ta có $q+7=2p \Rightarrow q=2p-7$ suy ra $p\geq 5$
Thay vào pt ban đầu ta có $2p^{(2p-7)}-(2q-7)^p=7$
Nếu $p=5 \Rightarrow q=3$ thỏa đề
Nếu $p\geq 7$ ta sẽ chứng minh $p^{2p-7}\geq (2p-7)^p$ $(2)$
Ta có $2^{2p-7}.p^{2p-7}\geq (2p-7)^p.2^{2p-7}$
$\Rightarrow (2p)^{p}.(2p)^{p-7}\geq (2p-7)^p.2^{2p-7}$
Ta có $(2p)^p>(2p-7)^p$
Ta cần chứng minh $(2p)^{p-7}>2^{2p-7}$
Với $p=7,8,..,15$ thì $(2)$ đúng
Với $p\geq 16$ ta có $(2p)^{p-7}\geq (2^5)^{p-7}=2^{5p-35}$
Thấy $5p-35>2p-7$ vì $p\geq 16$ suy ra $(2)$ đúng
Do đó $p\geq 7$ thì $p^{2p-7}\geq (2p-7)^p$
Mặt khác $2p^{2p-7}-(2p-7)^p=7 \Rightarrow p^{2p-7}+(p^{2p-7}-(2p-7)^p=7$
Theo trên suy ra $(p^{2p-7}-(2p-7)^p\geq 0\Rightarrow p^{2p-7}\le 7$ suy ra không có $p\geq 7$ thỏa đề
Vậy $\boxed{(p,q)=(5,3)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 05-08-2012 - 08:44