Chủ đề này có 4 trả lời

[hoangvit151]

Cho x,y,z là các số không âm. Chứng minh: $\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{y^{2} + 1} + \sqrt{z^{2} + 1} \geq \sqrt{6\left (x + y + z \right )}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 06-08-2012 - 15:43

[Math Is Love]

Cái này theo mình có lẽ dùng BĐT Cauchy-Schwarz( BĐT Bunhiacopxki) bạn ạ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doxuantung97: 05-08-2012 - 21:19

[ninhxa]

Cho x,y,z là các số không âm. Chứng minh: $\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{y^{2} + 1} + \sqrt{z^{2} + 1} \geq \sqrt{6\left (x + y + z \right )}$

-Áp dụng bdt $\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\geq \sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}$ (cm bằng cách biến đổi tương đương) và bdt AM-GM ta có:
$VT\geq \sqrt{(x+y)^2+(1+1)^2}+\sqrt{z^2+1}\geq \sqrt{(x+y+z)^2+(1+1+1)^2}=\sqrt{(x+y+z)^2+9}\geq \sqrt{6(x+y+z)}=VP$

[triethuynhmath]

Cho x,y,z là các số không âm. Chứng minh: $\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{y^{2} + 1} + \sqrt{z^{2} + 1} \geq \sqrt{6\left (x + y + z \right )}$

Cái này theo mình có lẽ dùng BĐT Cauchy-Schwarz( BĐT Bunhiacopxki) bạn ạ

Đã làm thì làm cho rõ ra,không spam vậy nhé
Áp dụng BĐT Min-scop-ski cho 3 số,ta có :
$\sum \sqrt{x^2+1}\geq \sqrt{(x+y+z)^2+(1+1+1)^2}=\sqrt{(x+y+z)^2+9}\geq \sqrt{6(x+y+z)}(Cauchy)$

[Beautifulsunrise]

Cho x,y,z là các số không âm. Chứng minh: $\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{y^{2} + 1} + \sqrt{z^{2} + 1} \geq \sqrt{6\left (x + y + z \right )}$

$\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{y^{2} + 1} + \sqrt{z^{2} + 1} \geq \sqrt{\left (x + y + z \right )^2+9}\geq \sqrt{6\left (x + y + z \right )}$ (Mincopxki, AM-GM)
Cách 2: $\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{y^{2} + 1} + \sqrt{z^{2} + 1} \geq \frac{x+y+z+3}{\sqrt{2}}\geq \sqrt{6\left (x + y + z \right )}$ (Cauchy-Svacso, AM-GM)
Cách 3: $\Leftrightarrow (x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2+2.\sqrt{x^{2} + 1}. \sqrt{y^{2} + 1} + 2.\sqrt{y^{2} + 1}. \sqrt{z^{2} + 1}+2.\sqrt{z^{2} + 1}. \sqrt{x^{2} + 1} \geq 4\left (x + y + z \right )$
$\Leftrightarrow (x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2+2.[\sqrt{x^{2} + 1}. \sqrt{y^{2} + 1} -(x+y)]+ 2.[\sqrt{y^{2} + 1}. \sqrt{z^{2} + 1} -(y+z)]+2.[\sqrt{z^{2} + 1}. \sqrt{x^{2} + 1} -(z+x)]\geq 0$ (Luôn đúng) (Cauchy - Svacso)
---------------------------------------
THPT: Đặt: x = tanx, y = tany, z = tanz thì ta có BĐT lượng giác:
$\frac{1}{cosx}+\frac{1}{cosy}+\frac{1}{cosz}\geq \sqrt{6(tanx+tany+tanz)}$
<=> $\frac{3}{4.cosx.cosy.cosz}\geq \sqrt{6(tanx+tany+tanz)}$
<=> $\frac{3}{4}\geq sin2x.sin2y.sin2z$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhmetric: 05-08-2012 - 22:50