Chủ đề này có 4 trả lời

[triethuynhmath]

Cho $a,b,c>0$ thỏa $ a^2+4b^2+9c^2=14$
Tìm GTLN của:
$A=3b+8c+abc$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi triethuynhmath: 06-08-2012 - 21:19

[davildark]

Đề là 11 hay 14 thế . Mình nhớ bài này hình như là đề thi 30/4 thì phải

[nthoangcute]

Cho $a,b,c>0$ thỏa $ a^2+4b^2+9c^2=11$
Tìm GTLN của:
$A=3b+8c+abc$

Chắc phải là 14 rồi !
11: http://www.wolframal...^2+4b^2+9c^2=11

14: http://www.wolframal...^2+4b^2+9c^2=14

[davildark]

Mình đọc được 1 lời giải cho bài này khá hay
Áp dụng Cauchy- Schwarz ta có
$$A+24=3b+8c+abc +24\leq \sqrt{(3b^2+8c^2+b^2c^2+24)(a^2+35)}=\sqrt{(b^2+8)(c^2+3)(a^2+35)}$$
Mặt khác Áp dụng AM-GM và giả thiết ta có
$$\sqrt{(b^2+8)(c^2+3)(a^2+35)}=\sqrt{\frac{(a^2+35)(4b^2+32)(9c^2+27)}{36}}\leq \sqrt{\frac{(14+35+32+27)^3}{36.27}}=36$$
$$\Rightarrow A+24\leq 36$$
$$\Rightarrow A\leq 12$$
Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$

Nguồn : MS

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi davildark: 08-08-2012 - 17:55

[Nguyenhuyen_AG]

Sử dụng bât đẳng thức AM-GM, ta có $$ \dfrac{b^2+1}{2}\ge b,\;\dfrac{c^2+1}{2}\ge c.$$ Sử dụng đánh giá này, ta đưa bài toán về chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn sau đây $$ 3\cdot\dfrac{b^2+1}{2}+8\cdot\dfrac{c^2+1}{2}+abc\le 12,$$ hay là $$ 3b^2+8c^2+2abc\le 13.$$ Thuần nhất hai vế của bất đẳng thức, ta được $$ 3b^2+8c^2+2abc\sqrt{\dfrac{14}{a^2+4b^2+9c^2}}\le 13\cdot\dfrac{a^2+4b^2+9c^2}{14},$$ thu gọn thành $$ 13a^2+10b^2+5c^2\ge2abc\sqrt{\dfrac{14}{a^2+4b^2+9c^2}},$$ hoặc $$ (a^2+4b^2+9c^2)(13a^2+10b^2+5c^2)^2\ge28^2\cdot14\cdot(abc)^2,$$ $$ \displaystyle\left(\frac{a^2}{14}+\frac{4b^2}{14}+\frac{9c^2}{14}\right)\left(\frac{13a^2}{28}+\frac{10b^2}{28}+\frac{5c^2}{28}\right)^2\ge a^2b^2c^2.$$ Thế nhưng bất đẳng thức này đúng vì theo bất đẳng thức AM-GM suy rộng, ta có $$ \displaystyle\frac{a^2}{14}+\frac{4b^2}{14}+\frac{9c^2}{14}\ge (a^2)^{\frac{1}{14}}\cdot(b^2)^\frac{4}{14}\cdot(c^2)^\frac{9}{14}.$$ $$ \begin{aligned}\left(\frac{13a^2}{28}+\frac{10b^2}{28}+\frac{5c^2}{28}\right)^2&\ge (a^2)^{2\cdot\frac{13}{28}}\cdot(b^2)^{2\cdot\frac{10}{28}}\cdot(c^2)^{2\cdot\frac{5}{28}}\\&= (a^2)^{\frac{13}{14}}\cdot(b^2)^{\frac{10}{14}}\cdot(c^2)^{\frac{5}{14}}.\end{aligned}$$ Nhân hai bất đẳng thức trên lại với nhau, ta được $$ \begin{aligned}\left(\frac{a^2}{14}+\frac{4b^2}{14}+\frac{9c^2}{14}\right)\left(\frac{13a^2}{28}+\frac{10b^2}{28}+\frac{5c^2}{28}\right)^2&\ge(a^2)^{\frac{1}{14}}\cdot(b^2)^\frac{4}{14}\cdot(c^2)^\frac{9}{14}\cdot(a^2)^{\frac{13}{14}}\cdot(b^2)^{\frac{10}{14}}\cdot(c^2)^{\frac{5}{14}}\\&= (a^2)^{\frac{1}{14}+\frac{13}{14}}\cdot(b^2)^{\frac{4}{14}+\frac{10}{14}}\cdot(c^2)^{\frac{9}{14}+\frac{5}{14}}\\&=a^2b^2c^2.\end{aligned}$$ Bài toán được chứng minh xong, đẳng thức xảy ra khi $ a=b=c=1.\Box$
P/s. Đây là đề thì 30/4 năm 2011 của anh Cẩn ra cho các bạn lớp 10.