Chủ đề này có 3 trả lời

[BoFaKe]

Bài 1:Cho $a,b,c$ không âm có tổng bằng 3 chứng minh rằng:
$3(a^{4}+b^{4}+c^{4})+a^{2}+b^{2}+c^{2}+6\geq 6(a^{3}+b^{3}+c^{3})$
Bài 2:Cho $a,b,c>0$ có tổng bằng 3 chứng minh rằng:
$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BoFaKe: 06-08-2012 - 21:04

[Secrets In Inequalities VP]

Bài 2:Cho $a,b,c>0$ có tổng bằng 3 chứng minh rằng:
$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$

Bài 2 :

Cho a , b , c là các số dương và a+b+c = 3. Chứng minh rằng
$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\geq a^{^{2}}+b^{2}+c^{2}$

Cách khác nhé :
$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}= \frac{a+b+c}{abc}=\frac{3}{abc}$
Ta có : $(ab+bc+ca)^{2}\geq 3abc(a+b+c)= 9abc\Rightarrow \frac{3}{abc}\geq \frac{27}{(ab+bc+ca)^2}$
Vậy ta cần CM : $\frac{27}{(ab+bc+ca)^2}\geq a^2+b^2+c^2$
$\Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2\leq 27$
Đúng theo AM-GM : $(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2\leq (\frac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+ab+bc+ca}{3})^3$
$= \frac{(a+b+c)^6}{27}= \frac{3^6}{27}= 27$

[Math Is Love]

Bài 2 ở đây:http://diendantoanho...c1c2geq-a2b2c2/

[WhjteShadow]

Bài 1 ý tưởng chính là sử dụng Phương pháp hệ số bất định kết hợp với bất đẳng thức $VornicuSchur$:
Ta có: $Q.e.D\Leftrightarrow \sum (3a^4+a^2+4a+6a^3-2)\geq 0$
$\Leftrightarrow \sum [(a-1)^2(3a^2-1)]\geq 0$
$\Leftrightarrow \sum [(3a-3)^2(3a^2-1)]\geq 0$
$\Leftrightarrow \sum [(2a-b-c)^2(3a^2-1)]\geq 0$ (Do $a+b+c=3$)
Đặt $A=3a^2-1,B=3b^2-1,C=3c^2-1$ Ta có phép biến đổi:
$Q.e.D\Leftrightarrow A(2a-b-c)^2+B(2b-a-c)^2+C(2c-a-b)^2\geq 0$
$\Leftrightarrow \sum 2A(a-b)(a-c)+\sum (A+B)(a-b)^2\geq 0$
$\Leftrightarrow \sum 2A(a-b)(a-c)+\sum (2A+B+C)(a-b)(a-c)\geq 0$
$\Leftrightarrow \sum (4A+B+C)(a-b)(a-c)\geq 0$
Hay là $\sum (4a^2+b^2+c^2-4)(a-b)(a-c) \geq 0$
Không mất tính tổng quát giả sử $a\geq b\geq c$ Thì ta có nhận xét:
$4a^2+b^2+c^2-4\geq 4b^2+a^2+c^2-4\geq 4c^2+b^2+a^2-4$ (1)
Và $(4c^2+b^2+a^2)(\frac{1}{4}+1+1)\geq (a+b+c)^2=9$
$\to 4c^2+b^2+a^2\geq 4$ hay $4c^2+b^2+a^2-4\geq 0$ (2)
Từ 1 và 2 ta thấy bất đẳng thức đúng the0 tiêu chuẩn 1 của $VornicuSchur$
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$ hoặc $a,b,c$ là hoán vị của bộ số $(\frac{1}{3};\frac{4}{3};\frac{4}{3})$
P/s: Hình như là hơi quá đà khi p0st bài này vào phần THCS :-?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 06-08-2012 - 21:49