Chủ đề này có 10 trả lời

[sieutoan99]

Cho a,b,c là 3 cạnh 1 tam giác, $a,b,c\epsilon \mathbb{N}$ thỏa mãn:$2a^{2}+3b^{2}+2c^{2}-4a.b+2a.c-20=0$.Chứng minh tam giác đó đều.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tham Lang: 07-08-2012 - 12:34

[nthoangcute]

Cho a,b,c là 3 cạnh 1 tam giác, $a,b,c \in \mathbb{N}$ thỏa mãn:$2a^{2}+3b^{2}+2c^{2}-4ab+2ac-20=0$.Chứng minh tam giác đó đều.

Ta có :
$2a^{2}+3b^{2}+2c^{2}-4ab+2ac-20=0$
$\Leftrightarrow (2a-2b+c)^2+2(b+c)^2+c^2=40$
Suy ra $40$ phải là tổng của 4 số chính phương !
Vì $40=2^2+2^2+4^2+4^2$ (Theo http://www.wolframal...2 = 40&dataset=)
Suy ra
$$\left\{\begin{matrix}
2a-2b+c=2\\
b+c=4\\
c=2
\end{matrix}\right. \wedge
\left\{\begin{matrix}
2a-2b+c=4\\
b+c=2\\
c=4

\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow
\left\{\begin{matrix}
a=2\\
b=2\\
c=2
\end{matrix}\right.$$
Suy ra tam giác đo là tam giác đều !

[duongtoi]

Biến đổi PT thành $2(a-b)^2+(b+c)^2+c^2=20\quad (1).$
Ta có $a,b,c\in \mathbb{N^*}$ nên $(b+c)^2\ge4;c^2\ge1$.
Suy ra $(a-b)^2\le\frac{15}{2}$, suy ra $(a-b)^2=\{0;1;4\}$.
Các số chính phương nhỏ hơn 20 là: 0;1;4;9;16. Suy ra $(a-b)^2;(b+c)^2;c^2$ là một trong các giá trị trên.
TH1: $a-b=0$. Ta được $(b+c)^2+c^2=20$. Suy ra được $c=2,b=2$. Suy ra $a=2$.
TH2: $(a-b)^2=1$. Ta được $(b+c)^2+c^2=19$. Suy ra vô nghiệm.
Th3: $(a-b)^2=4$.Ta được $(b+c)^2+c^2=16$. Suy ra được $c=0,b=4$. Loại vì $c>0$.
Vậy $a=b=c=2$. Suy ra dpcm

[nthoangcute]

Biến đổi PT thành $2(a-b)^2+(b+c)^2+c^2=20\quad (1).$
Ta có $a,b,c\in \mathbb{N^*}$ nên $(b+c)^2\ge4;c^2\ge1$.
Suy ra $(a-b)^2\le\frac{15}{2}$, suy ra $(a-b)^2=\{0;1;4\}$.
Các số chính phương nhỏ hơn 20 là: 0;1;4;9;16. Suy ra $(a-b)^2;(b+c)^2;c^2$ là một trong các giá trị trên.
TH1: $a-b=0$. Ta được $(b+c)^2+c^2=20$. Suy ra được $c=2,b=2$. Suy ra $a=2$.
TH2: $(a-b)^2=1$. Ta được $(b+c)^2+c^2=19$. Suy ra vô nghiệm.
Th3: $(a-b)^2=4$.Ta được $(b+c)^2+c^2=16$. Suy ra được $c=0,b=4$. Loại vì $c>0$.
Vậy $a=b=c=2$. Suy ra dpcm

Dù rất cố gắng nhưng lời giải bạn sai rồi !

[minhdat881439]

Biến đổi PT thành $2(a-b)^2+(b+c)^2+c^2=20\quad (1).$
Ta có $a,b,c\in \mathbb{N^*}$ nên $(b+c)^2\ge4;c^2\ge1$.
Suy ra $(a-b)^2\le\frac{15}{2}$, suy ra $(a-b)^2=\{0;1;4\}$.
Các số chính phương nhỏ hơn 20 là: 0;1;4;9;16. Suy ra $(a-b)^2;(b+c)^2;c^2$ là một trong các giá trị trên.
TH1: $a-b=0$. Ta được $(b+c)^2+c^2=20$. Suy ra được $c=2,b=2$. Suy ra $a=2$.
TH2: $(a-b)^2=1$. Ta được $(b+c)^2+c^2=19$. Suy ra vô nghiệm.
Th3: $(a-b)^2=4$.Ta được $(b+c)^2+c^2=16$. Suy ra được $c=0,b=4$. Loại vì $c>0$.
Vậy $a=b=c=2$. Suy ra dpcm

chỗ này hình như sai rồi thì phải
p\s èo lại chậm

Suy ra
$$\left\{\begin{matrix}
2a-2b+c=2\\
b+c=4\\
c=2
\end{matrix}\right. \wedge
\left\{\begin{matrix}
2a-2b+c=4\\
b+c=2\\
c=4

\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow
\left\{\begin{matrix}
a=2\\
b=2\\
c=2
\end{matrix}\right.$$
Suy ra tam giác đo là tam giác đều !

chỗ đó phải hoặc chứ nhỉ chứ trường hợp sau làm gì thỏa
p\s tớ nhầm dấu sorry

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhdat881439: 07-08-2012 - 10:35

[nthoangcute]

Mình có cách giải này hơi dài dòng
Pt trên tương đương với
$2(a-b)^2+(b+c)^2+c^2=20$(1)
Xét $c=1$
Ta có $b-a<c=1$ (do GT)
Suy ra $b=a$
Thế vào ko tìm đc $b$ thỏa mãn
Xét $c=2$
Tương tự ta có $b=a$ hoặc $b=a+1$
Nếu $b=a$ thì $b=a=2$
Nếu $b=a+1$ thì ko tìm đc b thỏa mãn
Dễ thấy nếu $c\geq 3$ thì $VT(1)>VP(1)=20$
Vậy ta có đpcm

Sai tiếp rồi !

[nthoangcute]

chỗ đó phải hoặc chứ nhỉ chứ trường hợp sau làm gì thỏa

Không hiểu rồi !
Chữ $\wedge$ nghĩa là "hoặc" đó !
Thay cho cái ngoặc vuông ấy mà !

[triethuynhmath]

Cho a,b,c là 3 cạnh 1 tam giác, $a,b,c\epsilon \mathbb{N}$ thỏa mãn:$2a^{2}+3b^{2}+2c^{2}-4a.b+2a.c-20=0$.Chứng minh tam giác đó đều.

Có khá nhiều cách giải sai bị nthoangcute "vạch trần" mình xin giải thử 1 cách:
Từ giả thiết $\Rightarrow b^2\vdots 2\Rightarrow b\vdots 2\Rightarrow b^2\vdots 4$
Đặt $b=2k\Rightarrow b^2=4k^2$ Thay vào phương trình ta có:
$2a^2+12k^2+2c^2-8ak+2ac-20=0\Rightarrow a^2+6k^2+c^2-4ak+ac-10=0\Rightarrow a^2-a(4k-c)+6k^2+c^2-10=0\Rightarrow \Delta =-8k^2-8kc-3c^2+40$
Nếu $k\geq 2$ mà $c\geq 1$ $\Rightarrow \Delta < 0$ Phương trình vô nghiệm.
Vậy $k=1\Rightarrow y=2$ Thay vào ta được $\Delta =-3c^2-8c+32$
Nếu $c> 2\Rightarrow \Delta < 0$.Vậy $\begin{bmatrix}c=2 \\ c=1 \end{bmatrix}$
Nếu $c=1$ $\Delta =21$ không chính phương.Vậy nghiệm a của PT không nguyên(Vô lí) (Chỗ này có cách khác để loại nhưng mình thấy loại cách này là hay nhất)
Nếu $c=2\Rightarrow \Delta =4=2^2$ chính phương.Sau đó thay vào giải ra $\begin{bmatrix}a=2 \\ a=0 \end{bmatrix}$ Loại $a=0$ vì $a\geq 1$
Vậy $a=b=c=2$ Hay ta đã có đpcm $(Q.E.D)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi triethuynhmath: 07-08-2012 - 10:47

[duongtoi]

chỗ này hình như sai rồi thì phải
p\s èo lại chậm

chỗ đó phải hoặc chứ nhỉ chứ trường hợp sau làm gì thỏa
p\s tớ nhầm dấu sorry

Sorry, mình biến đổi nhầm 1 tý.Hihi

[thedragonknight]

Tách kiểu khác đây
Pt tương đương với
$2(a-b)^2+b^2+2ac+2c^2=20$
Xét $c=1$
Suy ra $a=b$
Dễ dàng thấy đc ko có $a,b$ thỏa mãn
Xét $c=2$
Suy ra $a=b$ hoặc $a+1=b$
Thế vào tìm đc $a=b=2$
Xét $c\geq 3$
Dễ thấy $VT>VP$

P/s: Mình ẩu thật

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thedragonknight: 07-08-2012 - 10:51

[funcalys]

Không hiểu rồi !
Chữ $\wedge$ nghĩa là "hoặc" đó !
Thay cho cái ngoặc vuông ấy mà !

$\wedge$ là "và"
$\vee$ mới là "hoặc"