Chủ đề này có 3 trả lời

[sky of win D]

Tìm tất cả giá trị dương sao cho
$1!+2!+...+n!$ là 1 số chính phương.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tham Lang: 08-08-2012 - 15:31

[dactai10a1]

tìm tất cả giá trị dương sao cho
1!+2!+...+n! là 1 số chính phương.

Đặt $1! + 2! + ... + n! = {p^2}$
Nếu $n \ge 4$ .
Ta có $m! \vdots 5\forall m \ge 5$ suy ra
5!+6!+...+m! chia hết cho 5 với mọi m>4
$1! + 2! + 3! + ... + n! \equiv 1! + 2! + 3! + 4! \equiv 33 \equiv 3(\bmod 5)$
Ta có số chính phương chia 5 dư 0 hoặc 1,-1 nên $1! + 2! + ... + n! \ne {p^2}$ với $n \ge 4$
Vậy n<4
*Nếu n=3.Ta có $1! + 2! + 3! = {3^2}$ thỏa
* Nếu n=2 thì 1!+2!=3 không phải là số chính phương
*Nếu n=1 thì 1!=1 là số chính phương
Vậy n=1,n=3

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dactai10a1: 08-08-2012 - 15:02

[dactai10a1]

Mở rộng :Tìm tất cả số nguyên dương m,n,k lớn hơn 1 sao cho $1! + 2! + 3! + ... + m! = {n^k}$

[zipienie]

Tìm tất cả giá trị dương sao cho
$1!+2!+...+n!$ là 1 số chính phương.
Mình có cách khác cho bài này: Rõ ràng thì $n=1$ là một nghiệm của bài toán, xét trường hợp $x\not=1$ khi đó để ý rằng nếu một số là số chính phương thì nó luôn tận cùng là $0,1,4,5,6,9$ mặt khác thì nếu một số tự nhiên $a>4$ thì $a!$ luôn tận cùng là $0$. trong bài toán trên thì ta thấy rằng $1!+2!+3!+4!=33$ từ đó suy ra tổng $1!+2!+...+n!$ luôn tận cùng là 3 nếu $n\geq4$ vậy ta phải có là $n<4$ thử trực tiếp thấy $ n=3$ thỏa mãn, từ đây suy ra nghiệm cần tìm là $n=1$ và $n=3$