Chủ đề này có 6 trả lời

[Crystal]

Bài toán. Cho $x=1,y=2$. Thực hiện trò chơi như sau. Từ hai số $x$ và $y$ được phép viết $x+y+xy$. Hỏi có thể viết được số $2011$ không?

[nthoangcute]

Bài toán. Cho $x=1,y=2$. Thực hiện trò chơi như sau. Từ hai số $x$ và $y$ được phép viết $x+y+xy$. Hỏi có thể viết được số $2011$ không?

Em đoán là không được ! Thử làm như này xem đúng không ?
Ta có:
$2011$ phải viết dưới dạng $m+n+mn$
Suy ra $\{m = 0, n = 2011\}, \{m = 1, n = 1005\}, \{m = 3, n = 502\}, \{m = 502, n = 3\}, \{m = 1005, n = 1\}, \{m = 2011, n = 0\}$
Vậy ta phải tìm được số $1005$
Tương tự với số $1005$, ta phải tìm được số $502$
Xét phương trình nghiệm nguyên $502=a +b+ab$
Ta tìm được $\{a = 0, b = 502\}, \{a = 502, b = 0\}$
Suy ra vô lý
Vậy không thể tìm được !

[robin997]

Bài toán. Cho $x=1,y=2$. Thực hiện trò chơi như sau. Từ hai số $x$ và $y$ được phép viết $x+y+xy$. Hỏi có thể viết được số $2011$ không?

-Ta có từ 2 số đầu, với mỗi số thêm sau, ta luôn được một số chia 3 dư 2:
(dựa vào đồng dư ^^,)

$1+1(-1)+(-1)\equiv -1\equiv 2(Mod 3)\\
(-1)+(-1)(-1)+(-1)\equiv -1\equiv 2(Mod 3)$
-Mà ta có 2011 thì chia 3 dư 1 nên giả thiết không xảy ga :")

[BoFaKe]

Em đoán là không được ! Thử làm như này xem đúng không ?
Ta có:
$2011$ phải viết dưới dạng $m+n+mn$
Suy ra $\{m = 0, n = 2011\}, \{m = 1, n = 1005\}, \{m = 3, n = 502\}, \{m = 502, n = 3\}, \{m = 1005, n = 1\}, \{m = 2011, n = 0\}$
Vậy ta phải tìm được số $1005$
Tương tự với số $1005$, ta phải tìm được số $502$
Xét phương trình nghiệm nguyên $502=a +b+ab$
Ta tìm được $\{a = 0, b = 502\}, \{a = 502, b = 0\}$
Suy ra vô lý
Vậy không thể tìm được !

Với bài này mình nghĩ từ giả thiết,nghĩa là ta phải viết số 2011 từ 2 số là $x=1$ và $y=2$,thế nên cách giải tốt nhất có lẽ là xét theo mod.Còn cách của cậu tớ hiểu ..sơ sơ.
--------------------------------------------------
P/S:ý tưởng lại chậm mất rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BoFaKe: 09-08-2012 - 15:46

[perfectstrong]

Cách của nhoangcute cũng được nhưng thực dụng quá. Nếu cho số $n$ cỡ $2011^{2011}$ thì cách của em khi nào mới ra

[nthoangcute]

Cách của nhoangcute cũng được nhưng thực dụng quá. Nếu cho số $n$ cỡ $2011^{2011}$ thì cách của em khi nào mới ra

Thì người ta làm thì đi từ dưới lên trên, em làm thì từ trên xuống dưới !
___________________
Cách làm trên xuống dưới cho bài $2011^{2011}$
Giả sử $m+n+mn=2011^{2011}$
Suy ra $(m+1)(n+1)=2011^{2011}+1$
Do $2011^{2011}+1$ chia cho $3$ dư $2$
Suy ra $(m+1)(n+1)$ chia cho $3$ dư $2$
Suy ra $m$ chia hết cho $3$ và $n$ chia cho $3$ dư $1$ hoặc đổi lại
Suy ra $n=a+b+ab$
Suy ra $n+1=(a+1)(b+1)$
Tương tự suy ra $a$ và $b$ có một số chia hết cho $3$, một số chia $3$ dư $1$
Dần dần ...
Suy ra trong $x$ và $y$ có một số chia hết cho $3$, một số chia $3$ dư $1$
Suy ra vô lý !
______________________________
Cách này khá dài !

[Crystal]

Bài này có một hướng giải khá hay. Đó là chuyển qua dãy số!