Chủ đề này có 5 trả lời

[Didier]

Bai1: Giải phương trình nghiệm nguyên dương (x,y)
$\frac{x^{29}-1}{x-1}=y^{12}-1$

[The Gunner]

ta có $y^{12}-1 \equiv 0 (\mod 5)$ nếu $(y,5)=1$ và $y^12-1 \equiv -1 (\mod 5)$ nếu $5|y$ (*)
mặt khác nếu $(x,5)=1$ thì $x^{29}-1\ equiv x-1 (\mod 5)$
Do đó nếu $5|x$ thì
$x^{28}+...+x+1 \equiv 1 (\mod 5)$ khác (*)
nếu $(x,5)=1$
+ Nếu $(x-1,5)=1$ thì $\frac{x^{29}-1}{x-1} \equiv 1 (\mod 5)$ khác (*)
+Nếu $5|x-1$ và $(x,5)=1$ nên $x=6$ thì ta có $x \equiv -1 (\mod 7)$
suy ra $x^{28}+...+x+1 \equiv 1 (\mod 7)$ (**)
Mà một số lũy thừa 4 chia 7 dư 0;1 hoặc -1 nên suy ra $y^{12}-1$ chia 7 dư $-1;0,-2$ khác với (**)
Từ các trường hợp trên suy ra pt vô nghiệm nguyên dương

[nguyenta98]

Bai1: Giải phương trình nghiệm nguyên dương (x,y)
$\frac{x^{29}-1}{x-1}=y^{12}-1$

Giải như sau:
Gọi $p$ là ước nguyên tố của $\dfrac{x^{29}-1}{x-1}$
Suy ra $x^{29}-1 \vdots p$ suy ra $gcd(x,p)=1$
Gọi $x^k-1 \vdots p$ mà $k$ nhỏ nhất hay $k$ là cấp của $x$ ($mod(p)$)
Suy ra theo định nghĩa suy ra $29 \vdots k \Rightarrow k=1,29$
$\blacksquare$ Nếu $k=1 \Rightarrow x-1 \vdots p \Rightarrow x \equiv 1 \pmod{p}$
Mặt khác $\dfrac{x^{29}-1}{x-1}=x^{28}+x^{27}+...+x^2+x+1 \vdots p$
Mà $x \equiv 1 \pmod{p} \Rightarrow x^{28}+x^{27}+...+x^2+x+1 \equiv 29 \pmod{p} \Rightarrow p=29$
$\blacksquare$ Nếu $k=29$ suy ra theo Fermat nhỏ ta có $x^{p-1}-1 \vdots p$ nên $p-1 \vdots k=29 \Rightarrow p \equiv 1 \pmod{29}$
Như vậy mọi ước của $\dfrac{x^{29}-1}{x-1}$ đều có dạng $29k$ hoặc $29k+1$
Ta có $y^{12}-1=(y-1)(y^{11}+y^{10}+...+y+1)$
$\boxed{\text{KN1}}$ Nếu $y-1 \vdots 29 \Rightarrow y \equiv 1 \pmod{29} \Rightarrow y^{11}+...+y+1 \equiv 12 \pmod{29}$ vô lý vì mọi ước của $\dfrac{x^{29}-1}{x-1}$ có dạng $29k,29k+1$
$\boxed{\text{KN2}}$ Nếu $y-1 \equiv 1 \pmod{29} \Rightarrow y \equiv 2 \pmod{29} \Rightarrow y^{11}+...+y+1 \equiv 6 \pmod{29}$ tương tự cũng loại
Do đó phương trình vô nghiệm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 10-08-2012 - 13:37

[tramyvodoi]

sao the guner là biết là xét theo modun 5 mà k xét theo modun khác, bạn giải thích rõ nữa nha. cám ơn bạn

[The Gunner]

sao the guner là biết là xét theo modun 5 mà k xét theo modun khác, bạn giải thích rõ nữa nha. cám ơn bạn

Ờ là tại vì ta xét những modulo đặc biệt trước. để tiện dùng FERMAT thì 29 hoặc 12 phải là bội của số $p-1$, và ở cái phân thức VT muốn cho nó triệt tiêu bậc thì 29 thường có dạng $k(p-1)+1$. Nên mình nghĩ đến $p=5$ trước thôi

[tramyvodoi]

eqiuvx là gì vậy bạn?