2 replies to this topic

[Trần Đức Anh @@]

Tìm tất cả các giá trị nguyên dương $1<k<10$ sao cho hệ phương trình: $x^2+ky^2=z^2$, $kx^2+y^2=t^2$ có nghiệm nguyên dương.

[nguyenta98]

Tìm tất cả các giá trị nguyên dương $1<k<10$ sao cho hệ phương trình: $x^2+ky^2=z^2$, $kx^2+y^2=t^2$ có nghiệm nguyên dương.

Giải như sau:
Bổ đề: $p \in \mathbb{P}, p \equiv 3 \pmod{4}, a^2+b^2 \vdots p \Leftrightarrow p|a,b$
Ta có $(k+1)(x^2+y^2)=z^2+t^2$
Vì $1<k<10 \Rightarrow 2<k+1<11 \Rightarrow k+1=3,4,5,6,7,8,9,10$
Thấy nếu $k+1=3,6,7$ áp dụng bổ đề dễ dàng suy ra vô lý bằng cách lùi vô hạn
Do đó $k+1=4,5,8,9,10 \Rightarrow k=3,4,7,8,9$
Nếu $k=3,8$ suy ra $x^2+ky^2=z^2$ và $kx^2+y^2=t^2$ rõ ràng có nghiệm $(x,y)=(1,1)$
Nếu $k=7$ suy ra $x^2+7y^2=z^2$ và $7x^2+y^2=t^2$ có nghiệm $(x,y)=(3,1)$
Giờ ta chỉ xét $k=4,9$ nhưng hai Th này quả thực khó khăn, mong mọi người trợ giúp, nó đã đưa về phương trình Pytago nhưng đến đây mọi chuyện vẫn chưa xong vì ta có tới hai phương trình
Quả thực là hơi khó!!

Edited by Trần Đức Anh @@, 11-08-2012 - 15:53.

[FanquanA1]

Giải như sau:
Bổ đề: $p \in \mathbb{P}, p \equiv 3 \pmod{4}, a^2+b^2 \vdots p \Leftrightarrow p|a,b$
Ta có $(k+1)(x^2+y^2)=z^2+t^2$
Vì $1<k<10 \Rightarrow 2<k+1<11 \Rightarrow k+1=3,4,5,6,7,8,9,10$
Thấy nếu $k+1=3,6,7$ áp dụng bổ đề dễ dàng suy ra vô lý bằng cách lùi vô hạn
Do đó $k+1=4,5,8,9,10 \Rightarrow k=3,4,7,8,9$
Nếu $k=3,8$ suy ra $x^2+ky^2=z^2$ và $kx^2+y^2=t^2$ rõ ràng có nghiệm $(x,y)=(1,1)$
Nếu $k=7$ suy ra $x^2+7y^2=z^2$ và $7x^2+y^2=t^2$ có nghiệm $(x,y)=(3,1)$
Giờ ta chỉ xét $k=4,9$ nhưng hai Th này quả thực khó khăn, mong mọi người trợ giúp, nó đã đưa về phương trình Pytago nhưng đến đây mọi chuyện vẫn chưa xong vì ta có tới hai phương trình
Quả thực là hơi khó!!

Bài này khi tìm được k thì ta sử dụng đẳng thức : $(x^2+y^2)(z^2+t^2)=(xz+yt)^2+(xt-yz)^2$
Như vậy với $k = 4 , 9$ thì $k+1=1^2+2^2 , k+1=1^2+3^2$