Chủ đề này có 2 trả lời

[daothanhoai]

Cho tứ giác ABCD, và hai điểm I,K bất kỳ thuộc BD. AI cắt BC tại M, AK cắt CD tại N. CI cắt AB tại Q và CK cắt DA tại P.

1-Chứng minh BD,MP,NQ đồng quy
2-Chứng minh BD,PQ,MN đồng quy








Tác giả: daothanhoai và tranghieu95

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi daothanhoai: 11-08-2012 - 08:37

[perfectstrong]

Câu b:
Gọi $E$ là giao điểm của $AC,BD$; $O$ là giao điểm của $BD,MN$.
$\vartriangle CBD$ có cát tuyến $OMN$ nên
\[
\frac{{\overline {OB} }}{{\overline {OD} }}.\frac{{\overline {ND} }}{{\overline {NC} }}.\frac{{\overline {MC} }}{{\overline {MB} }} = 1,(1)
\]
$\vartriangle ABC$ có $AM,CQ,BE$ đồng quy nên
\[
\frac{{\overline {MC} }}{{\overline {MB} }}.\frac{{\overline {QB} }}{{\overline {QA} }}.\frac{{\overline {EA} }}{{\overline {EC} }} = - 1,(2)
\]
Tương tự
\[
\frac{{\overline {ND} }}{{\overline {NC} }}.\frac{{\overline {EC} }}{{\overline {EA} }}.\frac{{\overline {PA} }}{{\overline {PD} }} = - 1,\left( 3 \right)
\]
Lấy $(2)$ nhân $(3)$ vế theo vế, ta có:
\[
\frac{{\overline {MC} }}{{\overline {MB} }}.\frac{{\overline {ND} }}{{\overline {NC} }}.\frac{{\overline {QB} }}{{\overline {QA} }}.\frac{{\overline {PA} }}{{\overline {PD} }} = 1 \Leftrightarrow \frac{{\overline {QB} }}{{\overline {QA} }}.\frac{{\overline {PA} }}{{\overline {PD} }}.\frac{{\overline {OD} }}{{\overline {OB} }} = 1 \Rightarrow Q.E.D
\]

Câu a dựa theo câu b làm thì phải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 12-08-2012 - 21:49

[daothanhoai]

Câu b:
Gọi $E$ là giao điểm của $AC,BD$; $O$ là giao điểm của $BD,MN$.
$\vartriangle CBD$ có cát tuyến $OMN$ nên
\[
\frac{{\overline {OB} }}{{\overline {OD} }}.\frac{{\overline {ND} }}{{\overline {NC} }}.\frac{{\overline {MC} }}{{\overline {MB} }} = 1,(1)
\]
$\vartriangle ABC$ có $AM,CQ,BE$ đồng quy nên
\[
\frac{{\overline {MC} }}{{\overline {MB} }}.\frac{{\overline {QB} }}{{\overline {QA} }}.\frac{{\overline {EA} }}{{\overline {EC} }} = - 1,(2)
\]
Tương tự
\[
\frac{{\overline {ND} }}{{\overline {NC} }}.\frac{{\overline {EC} }}{{\overline {EA} }}.\frac{{\overline {PA} }}{{\overline {PD} }} = - 1,\left( 3 \right)
\]
Lấy $(2)$ nhân $(3)$ vế theo vế, ta có:
\[
\frac{{\overline {MC} }}{{\overline {MB} }}.\frac{{\overline {ND} }}{{\overline {NC} }}.\frac{{\overline {QB} }}{{\overline {QA} }}.\frac{{\overline {PA} }}{{\overline {PD} }} = 1 \Leftrightarrow \frac{{\overline {QB} }}{{\overline {QA} }}.\frac{{\overline {PA} }}{{\overline {PD} }}.\frac{{\overline {OD} }}{{\overline {OB} }} = 1 \Rightarrow Q.E.D
\]

Câu a dựa theo câu b làm thì phải

Em còn cách giải nào khác không?