Tìm GTNN của A=$\prod (a^{2}+1)$
#1
Đã gửi 11-08-2012 - 09:22
- WhjteShadow và trungdung97 thích
#2
Đã gửi 11-08-2012 - 16:36
Ta có:
$P = \left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right)\left( {1 + {c^2}} \right)\left( {1 + {d^2}} \right) \le \left[ {\frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{16}} - \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{2} + 1} \right]\left[ {\frac{{{{\left( {c + d} \right)}^2}}}{{16}} - \frac{{{{\left( {c + d} \right)}^2}}}{2} + 1} \right]$
Đặt:
$\left\{ \begin{array}{l}
a + b - 2 = x \\
c + d + 2 = y \\
\end{array} \right. \Rightarrow x + y = 4$
Khi đó:
$P = \frac{{{{\left( {{x^2} - 4} \right)}^4}}}{{256}} - \frac{{{{\left( {{x^2} - 4} \right)}^2}\left[ {{x^2} + 4} \right]}}{{16}} + \frac{{{x^4} + 24{x^2} + 16}}{8} + \frac{{{{\left( {{x^2} - 4} \right)}^2}}}{4} - \frac{{{x^2} + 4}}{2} + 1$
Đến đây dùng đạo hàm tìm được max = 25
- WhjteShadow yêu thích
THẬT THÀ THẲNG THẮN THƯỜNG THUA THIỆT
LƯƠN LẸO LUỒN LỎI LẠI LEO LÊN
Một ngày nào đó ta sẽ trở lại và lợi hại hơn xưa
#4
Đã gửi 12-08-2012 - 15:47
Bài giảiCho a,b,c,d không âm có tổng bằng 4 Tìm GTNN của A=$\prod (a^{2}+1)$
Do $a+b+c+d=4$ nên tồn tại hai số cùng không lớn hơn $1$ hoặc cùng không nhỏ hơn $1$
Giả sử hai số đó là $b,d$ vậy thì $(b-1)(d-1) \ge 0$ suy ra $bd+1 \ge b+d$
Ta thấy
$$(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)(d^2+1)=(1+a^2+b^2+a^2b^2)(c^2+1+d^2+c^2d^2) \ge (c+a+bd+1)^2 \ge (a+b+c+d)^2=16$$
- Tham Lang, nthoangcute và WhjteShadow thích
#5
Đã gửi 12-08-2012 - 17:02
Em nghĩ có lẽ anh nhầm rồi ! Cách này chỉ đúng vz $abcd=1$ thôi !Bài giải
Do $a+b+c+d=4$ nên tồn tại hai số cùng không lớn hơn $1$ hoặc cùng không nhỏ hơn $1$
Giả sử hai số đó là $b,d$ vậy thì $(b-1)(d-1) \ge 0$ suy ra $bd+1 \ge b+d$
Ta thấy
$$(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)(d^2+1)=(1+a^2+b^2+a^2b^2)(c^2+1+d^2+c^2d^2) \ge (c+a+bd+1)^2 \ge (a+b+c+d)^2=16$$
- WhjteShadow yêu thích
#6
Đã gửi 12-08-2012 - 17:09
Cho anh phản ví dụ cái nào em,trước khi nói là nhầm hoặc sai thì phải đưa ra phản ví dụ là anh chịu ngay.Theo anh cái này chỉ dựa vào nguyên lý $Dirichlet$ mà thôi.Có $4$ số mà chỉ có 2 TH là cùng không lớn hơn $1$ hoặc không nhở hơn $1$ thì chắc là được .Anh nghĩ không nên vận dụng một cách máy móc một bài toán quá em àEm nghĩ có lẽ anh nhầm rồi ! Cách này chỉ đúng vz $abcd=1$ thôi !
- Tham Lang yêu thích
#7
Đã gửi 12-08-2012 - 17:22
Ý e k phải vậy.anh giải thích hộ e đoạn này.Nếu k phải abcd=1 thì làm sao$$=(1+a^2+b^2+a^2b^2)(c^2+1+d^2+c^2d^2) \ge (c+a+bd+1)^2 \ge (a+b+c+d)^2=16$$
có đk
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Secrets In Inequalities VP: 12-08-2012 - 17:24
- Tham Lang và WhjteShadow thích
#8
Đã gửi 12-08-2012 - 17:28
@ Anh Hoàng : Có một chỗ đúng là nếu $abcd <1$ thì không thể có như vậy được
.
Bài giải
Do $a+b+c+d=4$ nên tồn tại hai số cùng không lớn hơn $1$ hoặc cùng không nhỏ hơn $1$
Giả sử hai số đó là $b,d$ vậy thì $(b-1)(d-1) \ge 0$ suy ra $bd+1 \ge b+d$
Ta thấy
$(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)(d^2+1)=(1+a^2+b^2+a^2b^2)(c^2+1+d^2+c^2d^2)$ $ \ge (c+a+bd+1)^2$ $ \ge (a+b+c+d)^2=16$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tham Lang: 12-08-2012 - 17:29
- Secrets In Inequalities VP và WhjteShadow thích
Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......
#9
Đã gửi 12-08-2012 - 19:45
Ý e k phải vậy.anh giải thích hộ e đoạn này.Nếu k phải abcd=1 thì làm sao
có đk
Cảm ơn các em nhé đúng là anh hơi chủ quan một chút.Mọi người thông cảmAnh cũng đồng ý với Secrets In Inequalities
@ Anh Hoàng : Có một chỗ đúng là nếu $abcd <1$ thì không thể có như vậy được
.
Ta đặt $f(a,b,c,d)=(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)(d^2+1)$
Giả sử $a \ge b \ge c \ge d$
thì ta dễ chứng minh được
$$f(a,b,c,d) \ge f(\sqrt{ac},b,\sqrt{ac},d)$$
Như vậy ta chỉ cần chứng minh BĐT khi mà $a=b=c=t \ge 1$
Vậy ta chứng minh
$$f(t)=(t^2+1)^3((4-3t)^2+1) \ge 16$$ với $t \ge 1$
Nếu bài toán có $min$ thì BĐT trên phải đúng .Mình chưa thử các bạn xem giúp
- ht2pro102 và WhjteShadow thích
#10
Đã gửi 12-08-2012 - 20:32
Điều cần chứng minh $\Leftrightarrow (t-1)^3(9t^5+3t^4+26t^3+6t^2+21t-1)\geq 0$Vậy ta chứng minh
$$f(t)=(t^2+1)^3((4-3t)^2+1) \ge 16$$ với $t \ge 1$
Nhưng điều này luôn đúng với $t\geq 1$
Vậy bất đẳng thức được chứng minh hoàn toàn anh Hoàng nhỷ
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 12-08-2012 - 20:32
- ht2pro102 yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh