Chủ đề này có 2 trả lời

[triethuynhmath]

Cho a,b,c là các số thực dương.Chứng minh rằng:
$( \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a})( \frac{a}{b^2}+\frac{b}{c^2}+\frac{c}{a^2})\geq 9$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi triethuynhmath: 12-08-2012 - 17:53

[Tru09]

Cho a,b,c là các số thực dương.Chứng minh rằng:
$( \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a})( \frac{a}{b^2}+\frac{b}{c^2}+\frac{c}{a^2})\geq 9$

Cách khác:|
Sử dụng B.C.S
$\rightarrow A \geq (\sqrt{\frac{c}{b}} +\sqrt{\frac{a}{c}}+\sqrt{\frac{b}{c}})^2 \geq 9$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tru09: 12-08-2012 - 18:16

[triethuynhmath]

mình không biết có đúng không nhưng có lẽ là đúng,áp dụng AM-GM cho bộ 3 số đầu,3 số cuối $\sum \frac{a^2}{b}\geq 3\sqrt[3]{abc}$,$\sum \frac{a}{b^2}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}$,nhân lại là có dpcm,
note:nếu cách trên đúng thì có cách khác là nhân ra rồi áp dụng ,AM-GM
note:nếu không đúng mong mọ người chỉ rõ

Cách khác:|
Sử dụng B.C.S
$\rightarrow A \geq (\sqrt{\frac{c}{b}} +\sqrt{\frac{a}{c}}+\sqrt{\frac{b}{c}})^2 \geq 9$

Sau khi đọc cả 2 cách mình đều thấy rất hay nhưng phải sử dụng Bunya 3 số,Cauchy 3 số.1 cách dùng cauchy 2 số:
$\frac{a^2}{b}+b\geq 2a$
Thiết lập BĐT tương tự,cộng vế theo vế ta được :
$\sum \frac{a^2}{b}\geq \sum a$
Mặt khác :tiếp tục áp dụng BĐT cauchy,ta lại có :
$\frac{a}{b^2}+\frac{1}{a}\geq \frac{2}{b}$
Lại tương tự,cộng theo vế:
$\sum \frac{a}{b^2}\geq \sum \frac{1}{a}$
Vậy VT $\geq (\sum a)(\sum \frac{1}{a})\geq 9(Q.E.D)$