Đề bài :Cho p là số nguyên tố ,a là số nguyên dương.Ta chia đường tròn thành p cung bằng nhau.Hỏi có bao nhiêu cách tô các cung bằng a màu? Hai cách tô có thu được từ nhau qua một phép quay được coi là giống nhau.
Chú ý: Đây cũng là một cách CM khác của định lí Fermat nhỏ.
#2
Đã gửi 14-08-2012 - 19:40
perfectstrong
-
- Quản lý Toán Ứng dụng
-
- 5019 Bài viết
$LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$
Lời giải:
Ta chia số cách tô thành 2 tập.
Tập A: là các cách tô có ít nhất 2 màu.
Mỗi cung có $a$ cách tô và có $p$ cung nên sẽ có $a^p$ cách tô.
Có $a$ cách tô chỉ với $1$ màu. Do đó có $a^p-a$ cách tô cung dùng ít nhất 2 màu. (*)
Mặt khác, với mỗi cách tô theo (*) , khi quay theo chiều kim đồng hồ lần lượt các góc $\dfrac{2\pi}{p};\dfrac{4\pi}{p};...\;\dfrac{2(p-1)\pi}{p}$ thì ta sẽ thu được 1 cách tô trùng với cách tô ban đầu.
Do đó, số cách tô có ít nhất 2 màu, không tính các cách tô thu được bằng phép quay là $\dfrac{a^p-a}{p}$.
Tập B: là các cách tô chỉ dùng 1 màu. Dễ thấy $|B|=a$.
Do vậy, số cách tô thỏa đề là $a+\dfrac{a^p-a}{p}$.
====================================
Vì số cách tô là số tự nhiên nên thấy ngay $p|a^p-a$. Định lý Fermat nhỏ được chứng minh.
Ta chia số cách tô thành 2 tập.
Tập A: là các cách tô có ít nhất 2 màu.
Mỗi cung có $a$ cách tô và có $p$ cung nên sẽ có $a^p$ cách tô.
Có $a$ cách tô chỉ với $1$ màu. Do đó có $a^p-a$ cách tô cung dùng ít nhất 2 màu. (*)
Mặt khác, với mỗi cách tô theo (*) , khi quay theo chiều kim đồng hồ lần lượt các góc $\dfrac{2\pi}{p};\dfrac{4\pi}{p};...\;\dfrac{2(p-1)\pi}{p}$ thì ta sẽ thu được 1 cách tô trùng với cách tô ban đầu.
Do đó, số cách tô có ít nhất 2 màu, không tính các cách tô thu được bằng phép quay là $\dfrac{a^p-a}{p}$.
Tập B: là các cách tô chỉ dùng 1 màu. Dễ thấy $|B|=a$.
Do vậy, số cách tô thỏa đề là $a+\dfrac{a^p-a}{p}$.
====================================
Vì số cách tô là số tự nhiên nên thấy ngay $p|a^p-a$. Định lý Fermat nhỏ được chứng minh.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 14-08-2012 - 20:35
- nguyenta98 yêu thích
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! 
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
