Chủ đề này có 2 trả lời

[Albert einstein vip]

Tìm 2 số nguyên dương p,q sao cho : $p^{4} - q^{4} = 2pq^{2} + 371$

[nguyenta98]

Tìm 2 số nguyên dương p,q sao cho : $p^{4} - q^{4} = 2pq^{2} + 371$

Giải như sau:
$$(p-q)(p+q)(p^2+q^2)=2pq^2+371$$
Nhận thấy $2pq^2+371>0 \Rightarrow p>q$
TH1: $p-q=1$ suy ra $p=q+1$
Thế vào phương trình ban đầu $(q+1)^4-q^4-2(q+1)q^2=371 \Rightarrow (q-5)(q^2+7q+37)=0 \Rightarrow q=5,p=6$
TH2: $p-q=2$ suy ra $p=q+2$
Thế vào phương trình ban đầu $6q^3+20q^2+32q=355$ suy ra $355 \vdots q$ ta thử thì loại
TH3: $p-q\geq 3$ ta có $(p-q)(p+q)(p^2+q^2)>3.p.q^2 \Rightarrow 2pq^2+371>3pq^2 \Rightarrow 371>pq^2$ cái này hoàn toàn làm được bằng chặn, cần thiết ta có thể xét thêm vài TH nữa cho đến khi thành $10pq^2$ thì suy ra $9pq^2<371$ thì quá đơn giản

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 13-08-2012 - 20:25

[ckuoj1]

Từ giả thiết $p^{4} - q^{4} = 2pq^{2}+371$
$\Rightarrow q^{4}+2q^{2}p + p^{2} = p^{4}+p^{2}-371$
$\Rightarrow (q^{2}+p)^{2}= (p^{2}+\frac{1}{2})²-\frac{1485}{4}$
$\Rightarrow (2p^{2}-2q^{2}-2p+1)(2p^{2}+2q^{2}+2p+1)=1485= 3^{3}.5.11$ (1)
Vì p, q là số nguyên dương nên từ (1) có p = 6 ; q = 5
----Thử lại thoả mãn
-*-*-*-*-*-*-*-*-*-
p/s: đoạn (1) đó thì nhờ mấy e lớp 6 nhá. Chị chưa học tới phần đó ^^

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ckuoj1: 16-08-2012 - 15:36