Chủ đề này có 2 trả lời

[Ispectorgadget]

Tìm tất cả các số nguyên $(m,n),m>n$ thỏa $[m^2+mn,mn-n^2]+[m-n;mn]=2^{2005}$
Với $[a;b]$ là bội chung nhỏ nhất của $a;b$
Ivan Landjev

[nguyenta98]

Tìm tất cả các số nguyên $(m,n),m>n$ thỏa $[m^2+mn,mn-n^2]+[m-n;mn]=2^{2005}$
Với $[a;b]$ là bội chung nhỏ nhất của $a;b$
Ivan Landjev

Bài này sử dụng kiến thức $gcd,lcm$ khá nhiều, nếu học chắc lớp $6$ sẽ nắm vững
Giải như sau:
$\blacksquare$ Đặt $gcd(m,n)=d \Rightarrow m=dx,n=dy,gcd(x,y)=1$ và do $m>n \Rightarrow x>y$
Do đó ta có $[m^2+mn,mn-n^2]=[d^2x(x+y),d^2y(x-y)]=d^2[x(x+y),y(x-y)]$ thấy $gcd(x(x+y),y(x-y))=1,2$ (do $gcd(x+y,x-y)=1,2$ và $gcd(x,y)=1$)
Như vậy $[m^2+mn,mn-n^2]=d^2[x(x+y),y(x-y)]=d^2xy[x+y,x-y]$
$\blacksquare$ Ta xét $[m-n,mn]=[dx-dy,d^2xy]=d[x-y,dxy]$ mặt khác thấy $gcd(x-y,xy)=1$ (do $gcd(x,y)=1$) nên $d[x-y,dxy]=dxy[x-y,d]$
Kết hợp hai điều trên ta suy ra
$$[m^2+mn,mn-n^2]+[m-n,mn]=dxy\left(d[x+y,x-y]+[x-y,d]\right)=2^{2005}$$
Đầu tiên ta nhận thấy $gcd(x,y)=1$ nên $x,y$ không thể cùng chẵn, do đó chúng cùng lẻ hoặc một chẵn một lẻ, nhưng nếu chúng cùng lẻ mà $x.y|2^{2005} \Rightarrow x=y=1 \Rightarrow m=n$ vô lý do đó có một số chẵn, một số lẻ và số lẻ kia bằng $1$ mặt khác $m>n$ nên $x>y$ nên $x=2^t,y=1$ suy ra $gcd(x-y,x+y)=1$
Giờ ta xét $d$
TH1: $d$ lẻ mà $d|2^{2005} \Rightarrow d=1 \Rightarrow gcd(x-y,d)=1$
Như vậy $dxy\left(d[x+y,x-y]+[x-y,d]\right)=dxy\left(d(x+y)(x-y)+d(x-y)\right)=2^{2005} \Rightarrow d^2xy(x-y)(x+y+1)=2^{2005}$
Do $x-y$ lẻ nên nó bằng $1$ suy ra $2^t-1=1 \Rightarrow t=1 \Rightarrow x+y+1=2+1+1=4 \Rightarrow d^2xy(x-y)(x+y+1)=1.1.2.1.4<2^{2005}$ vô lý
TH2: $d$ chẵn suy ra $d=2^k$ mà ta đã cm $x,y$ khác tính chẵn lẻ nên $x-y,x+y$ cùng lẻ
Do đó $dxy\left(d[x+y,x-y]+[x-y,d]\right)=dxy\left(d(x+y)(x-y)+d(x-y)\right)=d^2xy(x-y)(x+y+1)=2^{2005}$
Thấy $(x-y)$ lẻ nên $x-y=1 \Rightarrow 2^t-1=1 \Rightarrow t-1 \Rightarrow x=2,y=1 \Rightarrow d^2.2.1.4=2^{2005} \Leftrightarrow (2^k)^2.2.1.4=2^{2005} \Rightarrow 2^{2k}.2^3=2^{2005} \Rightarrow k=1001$
Suy ra $x=2,y=1,d=2^k=2^{1001} \Rightarrow m=2^{1002},y=2^{1001}$
Vậy $\boxed{(m,n)=(2^{1002},2^{1001})}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 15-08-2012 - 13:10

[FanquanA1]

Tìm tất cả các số nguyên $(m,n),m>n$ thỏa $[m^2+mn,mn-n^2]+[m-n;mn]=2^{2005}$
Với $[a;b]$ là bội chung nhỏ nhất của $a;b$
Ivan Landjev

Đặt $d=(m,n)$ suy ra $m=d.a,n=d.b$,$(a,b)=1$ ta có: $\frac{mn(m^2-n^2)}{(m^2+mn,mn-n^2)}+\frac{mn(m-n)}{(mn,m-n)}=2^{2005}$ $\Leftrightarrow mn(m-n)(\frac{m+n}{(m^2+mn,mn-n^2)}+\frac{1}{(mn,m-n)})=2^{2005}$ . Ta có: $(m^2+mn,mn-n^2)=d^2(a(a+b),b(a-b))$
Nếu a,b cùng lẻ thì: $dmn(a-b)(\frac{d(a+b)}{2d^2}+\frac{1}{d})=2^{2005}\Leftrightarrow d^2ab(a-b)(a+b+2)=2^{2006}$
Do a,b lẻ nên $a=b=1$ vô lý
Nếu a,b khác tính chắn lẻ thì:$dmn(a-b)(\frac{d(a+b)}{d^2}+\frac{1}{d})=2^{2005}\Leftrightarrow d^2ab(a-b)(a+b+1)=2^{2005}$
Do $a-b$ lẻ nên $a=b+1$. Thay vào ta có: $d^2.b(b+1)^2=2^{2004}\Leftrightarrow b=1$. Suy ra: $d=2^{1000},a=2^{1001},b=2^{1000}$