Chủ đề này có 1 trả lời

[uyenha]

Cho dãy thực $(x_{n})$ được xác định như sau:
$x_{1}=a>1;x_{n+1}=\frac{2^{x_{n}}(x_{n}ln2-1)+1}{2^{x_{n}}ln2-1}$ với mọi n$\geq $1
tìm a để dãy số có giới hạn khác 0.tìm giới hạn đó

[dark templar]

Cho dãy thực $(x_{n})$ được xác định như sau:
$x_{1}=a>1;x_{n+1}=\frac{2^{x_{n}}(x_{n}ln2-1)+1}{2^{x_{n}}ln2-1}$ với mọi n$\geq $1
tìm a để dãy số có giới hạn khác 0.tìm giới hạn đó

Bài này biện luận theo $a$ giới hạn của dãy này sẽ vui hơn
Lời giải:
Đặt $f(x_{n})=\frac{2^{x_{n}}(x_{n}\ln{2}-1)+1}{2^{x_{n}}\ln{2}-1}$.
Ta có:
$$f'(x)=\frac{2^{x}\ln^2{2}(2^{x}-x-1)}{(2^{x}\ln{2}-1)^2};f'(x)=0 \iff 2^{x}=x+1$$
Xét hàm số $h(x)=2^{x}-x-1$
$$h''(x)=2^{x}\ln^2{2}>0;\forall x$$
Vậy theo định lý Roll thì phương trình $h(x)=0$ có tối đa 2 nghiệm.Dễ thấy $h(0)=h(1)=0$ nên $\begin{bmatrix} x=0 \\ x=1 \end{bmatrix}$
Kẻ cái bảng biến thiên của hàm số $f(x)$,ta sẽ thấy :

• $f(x)$ đồng biến trên các khoảng $(- \infty;0)$ và $(1;+ \infty)$
• $f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(0;1)$
• Hàm số không xác định tại $x=\log_{2}{\log_{2}{e}}$

Do $a>1>\log_{2}{\log_{2}{e}}$ nên $x_1=f(x_{0})=f(a) \ge 1$,suy ra $x_2=f(x_1) \ge f(1)=1$.
Theo quy nạp,ta sẽ có:
$$x_{n}=f(x_{n-1}) \ge 1,\forall n \in \mathbb{N}$$
Mặt khác:
$$x_{n}-x_{n-1}=\frac{x_{n-1}+1-2^{x_{n-1}}}{2^{x_{n-1}}\ln{2}-1} \le 0;\forall x_{n-1} \ge 1$$
Như vậy dãy $\{x_{n} \}$ là dãy giảm và bị chặn dưới bởi 1 nên dãy này tồn tại 1 giới hạn hữu hạn.Đặt $\lim x_{n}=\alpha(\alpha \ge 1)$.Theo phép qua giới hạn ta có:
$$2^{\alpha}=\alpha +1 \iff \alpha =1(\alpha \ge 1)$$

Kết luận: $\forall a>1$ thì $\lim x_{n} =1$(Nếu nói chính xác thì $\forall a> \log_{2}{\log_{2}{e}}$)

P/s:Vẫn bằng cách trên,ta sẽ thấy nếu $a< \log_{2}{\log_{2}{e}}$ thì $\lim x_{n} =0$