Chủ đề này có 2 trả lời

[uyenha]

Cho dãy $(c_{n})$ dương.CM
$\prod_{k=1}^{n}(1+c_{k})\leq (1+\frac{\sum_{k=1}^{n}c_{n}}{n})^{n}$

[le_hoang1995]

Cho dãy $(c_{n})$ dương.CM
$\prod_{k=1}^{n}(1+c_{k})\leq (1+\frac{\sum_{k=1}^{n}c_{n}}{n})^{n}$

Xét hàm số $f(x)=ln(1+x)$ với x dương $\Rightarrow f'(x)=\frac{1}{1+x}\Rightarrow f''(x)=\frac{-1}{(1+x)^2}<0$
Suy ra hàm số lõm. Áp dụng BĐT Jensen ta được:
$$f(c_1)+f(c_2)+...+f(c_n)\leq nf(\frac{c_1+c_2+...+c_n}{n})$$
$$\Leftrightarrow ln(1+c_1)+ln(1+c_2)+...+ln(1+c_n)\leq n.ln\left ( 1+\frac{c_1+c_2+...+c_n}{n} \right )$$
$$\Leftrightarrow (1+c_1)(1+c_2)...(1+c_n)\leq \left ( 1+\frac{\sum_{k=1}^{n}c_n}{n} \right )^n$$

[robin997]

Xét hàm số $f(x)=ln(1+x)$ với x dương $\Rightarrow f'(x)=\frac{1}{1+x}\Rightarrow f''(x)=\frac{-1}{(1+x)^2}<0$
Suy ra hàm số lõm. Áp dụng BĐT Jensen ta được:
$$f(c_1)+f(c_2)+...+f(c_n)\leq nf(\frac{c_1+c_2+...+c_n}{n})$$
$$\Leftrightarrow ln(1+c_1)+ln(1+c_2)+...+ln(1+c_n)\leq n.ln\left ( 1+\frac{c_1+c_2+...+c_n}{n} \right )$$
$$\Leftrightarrow (1+c_1)(1+c_2)...(1+c_n)\leq \left ( 1+\frac{\sum_{k=1}^{n}c_n}{n} \right )^n$$

Jensen cho hàm này thực chất là cm lại BĐT AM-GM...tại sao không dùng trực tiếp luôn nhỉ ^^,