Chủ đề này có 3 trả lời

[nucnt772]

BÀI TOÁN: Xác định tất cả các số nguyên $n> 1$ sao cho $\frac{2^{n}+1}{n^{2}}$ là một số nguyên.

[nguyenta98]

BÀI TOÁN: Xác định tất cả các số nguyên $n> 1$ sao cho $\frac{2^{n}+1}{n^{2}}$ là một số nguyên.

Giải như sau:
Ta thấy $n$ lẻ
$$2^n+1 \vdots n^2 \Rightarrow 2^{2n}-1 \vdots n^2$$
Giả sử $p$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $n$ suy ra $p$ lẻ và gọi $ord_2(p)=k$ suy ra $2^k-1 \vdots p$ mà $k$ min
Suy ra $2n \vdots k$
Mặt khác $2^{p-1}-1 \vdots p $ (Fermat nhỏ) suy ra $p-1 \vdots k$ suy ra $p-1\geq k \Rightarrow k<p$
Ta đã cm $2n \vdots k \Rightarrow gcd(n,k)=1$ vì nếu $gcd(n,k)>1 \Rightarrow n \vdots r,k \vdots r$ với $r$ nguyên tố mà $k<p \Rightarrow r<p \Rightarrow r$ là ước nguyên tố của $n$ mà $r<p$ vô lý vì $p$ nhỏ nhất
Do đó $gcd(n,k)=1 \Rightarrow 2 \vdots k$
TH1: $k=1 \Rightarrow 2-1 \vdots p$ vô lý
TH2: $k=2 \Rightarrow 2^2-1 \vdots p \Rightarrow p=3$
Suy ra $n=3^x.t$ với $gcd(3,t)=1$
Nên $2^{3^x.t}+1 \vdots 3^{2x}$
Ta sẽ chứng minh $2^{3^x.t}+1 \vdots 3^{x+1}$ và không chia hết cho $3^{x+2}$
Thấy $x=1$ đúng
Giả sử $x=k$ đúng hay $2^{3^k.t}+1 \vdots 3^{k+1}$ và không chia hết cho $3^{k+2}$
Ta sẽ cm $x=k+1$ đúng hay $2^{3^{k+1}.t}+1 \vdots 3^{k+2}$ và không chia hết cho $3^{k+4}$
Thật vậy ta có $2^{3^{k+1}.t}+1=\left(2^{3^k.t}+1\right)\left(\left(2^{3^k.t}\right)^2-2^{3^k.t}+1\right)$
Ta thấy $\left(2^{3^k.t}+1\right) \vdots 3^{k+1}$ mà không chia hết cho $3^{k+2}$ (GTQN)
Mặt khác ta có $\left(\left(2^{3^k.t}\right)^2-2^{3^k.t}+1\right)=a^2-a+1$ với $a=2^{3^k.t} \equiv 2 \pmod{3}$
Suy ra $a^2-a+1=(a-5)(a+4)+21 \vdots 3 $ nhưng không $\vdots 9$
Do đó $2^{3^{k+1}.t}+1 \vdots 3^{k+2}$ mà không chia hết cho $3^{k+3}$ suy ra $đpcm$
Áp dụng vào ta thấy $x>1$ thì $2^{3^x.t}+1 \vdots 3^{x+1}$ mà không chia hết cho $3^{x+2}$ hay không chia hết cho $3^{2x}$ (do $x>1 \Rightarrow 2x>x+1$) như vậy $x=1$
Suy ra $n=3.t$ với vẫn đk $gcd(t,3)=1$
Hay $8^t+1 \vdots t^2$
Tiếp tục giả sử $h$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $t$ chứng minh tương tự trên có $ord_8(h)=1,2$
Nếu $ord_8(h)=1 \Rightarrow 8-1 \vdots h \Rightarrow h=7$ nhưng khi ấy $8^t+1 \equiv 2 \pmod{7}$ vô lý
Nếu $ord_8(h)=2 \Rightarrow (8-1)(8+1) \vdots h$ mà ta đã thấy $ord_8(h)=2$ là số nhỏ nhất thỏa $8^{ord_8(h)}-1 \vdots h$ nên $8-1 \not \vdots h$ vì nếu không thì $1<2$ vô lý với giả sử $ord$ bé nhất
Do đó $8+1 \vdots t$ suy ra $9 \vdots t$ suy ra $t=1$ (do $gcd(t,3)=1$) suy ra $n=3$
Vậy $\boxed{n=3}$

P/S bài rất hay

[Stranger411]

BÀI TOÁN: Xác định tất cả các số nguyên $n> 1$ sao cho $\frac{2^{n}+1}{n^{2}}$ là một số nguyên.

Bài này ko cần phải dùng đến cấp của 1 số đâu

Bổ đề 1: Cho các số nguyên $m,n$ và $a>1$. Ta có: $\gcd \left( {{a^m} - 1,{a^n} - 1} \right) = {a^{\gcd \left( {m,n} \right)}} - 1$
Bổ đề 2: Nếu ${3^b}|{2^a} - 1 \Rightarrow {3^{b - 1}}|a$

Lời giải bài toán:
+ Khi $n=1$, bài toán thỏa mãn.
+ Khi $n>1 \Rightarrow n$ lẻ.
Gọi $p$ là ước nguyên tố lẻ nhỏ nhất của $n$ nên $\gcd \left( {p - 1,n} \right) = 1$.
Ta có: $p|{2^n} + 1|{2^{2n}} - 1$
Theo định lí Ferma nhỏ, ta có: $p|{2^{p - 1}} - 1$.
Áp dụng bổ đề 1, ta được: $p|\gcd \left( {{2^{p - 1}} - {{1,2}^{2n}} - 1} \right) = {2^{\gcd \left( {2n,p - 1} \right)}} - 1$
mà $\gcd \left( {2n,p - 1} \right) \leqslant 2 \Rightarrow p|3 \Rightarrow p = 3$
Đặt $n = {3^k}d$. Dùng bổ đề 2, ta có: ${3^{2k}}|{n^2}|{2^{2n}} - 1 \Rightarrow {3^{2k - 1}}|n \Rightarrow k = 1$
(*) Nếu $d>1$. Gọi $q$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $d$ nên $q \ge 5$.
Lập luận tương tự như trên, ta có: $q=7$
Vậy nên $7|n|{2^n} + 1$. Điều này vô lí vì ${2^n} + 1 \equiv 2,3,5(\bmod 7)$.
(*) Nếu $d=1$, ta có: $n=3$.
Vậy $n=1$ và $n=3$ thỏa mãn đề bài.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Stranger411: 16-08-2012 - 09:54

[Stranger411]

Bài trên lâu lắm rồi Mình mở rộng bằng căn nguyên thủy tí nữa cho nó mạnh

Mở rộng: Tìm tất cả các số nguyên $n>1$ sao cho tồn tại duy nhất số nguyên $a$ với $0 < a < n!$ sao cho:
\[n!|{a^n} + 1\]

BÀI TOÁN: Xác định tất cả các số nguyên $n> 1$ sao cho $\frac{2^{n}+1}{n^{2}}$ là một số nguyên.

Bài này còn 2 cách giải nữa bằng căn nguyên thủy và LTE