Chủ đề này có 4 trả lời

[Tran Hong Tho]

Cho $a$, $b$, $c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$ . Chứng minh rằng: $a+b+c+\frac{1}{abc}\geq 4\sqrt{3}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 17-08-2012 - 08:54

[Math Is Love]

Cho $a$, $b$, $c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$ . Chứng minh rằng: $a+b+c+\frac{1}{abc}\geq 4\sqrt{3}$.

Ta có:
$a+b+c+\frac{1}{abc}=(a+b+c+\frac{1}{9abc})+\frac{8}{9abc}$
Có$(a+b+c+\frac{1}{9abc})\geqslant 4\sqrt[4]{abc.\frac{1}{9abc}}=4\sqrt[4]{\frac{1}{9}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$
Có $1=a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant 3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}\Rightarrow abc\leqslant \frac{1}{3\sqrt{3}}$
$\Rightarrow \frac{8}{9abc}\geqslant \frac{8}{9}.\frac{1}{\frac{1}{3\sqrt{3}}}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$
Vậy$\Rightarrow a+b+c+\frac{1}{abc}\geqslant \frac{4\sqrt{3}}{3}+\frac{8\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}$
Ta có ĐPCM

[caybutbixanh]

Chỗ này :
$a+b+c+\frac{1}{abc}=(a+b+c+\frac{1}{9abc})+\frac{8}{9abc}$
Sao anh biết phải tách như vây ?

[L Lawliet]

Chỗ này :
$a+b+c+\frac{1}{abc}=(a+b+c+\frac{1}{9abc})+\frac{8}{9abc}$
Sao anh biết phải tách như vây ?

Xem phương pháp chọn điểm rơi trong $AM-GM$ đi em, khi đó sẽ hiểu.

[triethuynhmath]

Cho $a$, $b$, $c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$ . Chứng minh rằng: $a+b+c+\frac{1}{abc}\geq 4\sqrt{3}$.

Ta có:
$a+b+c+\frac{1}{abc}=(a+b+c+\frac{1}{9abc})+\frac{8}{9abc}$
Có$(a+b+c+\frac{1}{9abc})\geqslant 4\sqrt[4]{abc.\frac{1}{9abc}}=4\sqrt[4]{\frac{1}{9}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$
Có $1=a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant 3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}\Rightarrow abc\leqslant \frac{1}{3\sqrt{3}}$
$\Rightarrow \frac{8}{9abc}\geqslant \frac{8}{9}.\frac{1}{\frac{1}{3\sqrt{3}}}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$
Vậy$\Rightarrow a+b+c+\frac{1}{abc}\geqslant \frac{4\sqrt{3}}{3}+\frac{8\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}$
Ta có ĐPCM

Chưa bao giờ là hài lòng với 1 cách giải:
$a+b+c+\frac{1}{abc}=-8(a+b+c)+9(a+b+c)+\frac{1}{abc}\geq -8\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}+27\sqrt[3]{abc}+\frac{1}{abc}=-8\sqrt{3}+9\sqrt[3]{abc}+9\sqrt[3]{abc}+9\sqrt[3]{abc}+\frac{1}{abc}\geq -8\sqrt{3}+4\sqrt[4]{9^3abc.\frac{1}{abc}}=-8\sqrt{3}+4\sqrt[4]{9^3}=-8\sqrt{3}+4\sqrt{3^3}=-8\sqrt{3}+12\sqrt{3}=4\sqrt{3}(Q.E.D)$