Chủ đề này có 7 trả lời

[Tran Hong Tho]

Cho các số $a$, $b$, $c$ không âm thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2} =8$. Chứng minh: $4\left ( a+b+c-4 \right )\leq abc$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 17-08-2012 - 09:31

[tim1nuathatlac]

Cho các số $a$, $b$, $c$ không âm thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2} =8$. Chứng minh: $4\left ( a+b+c-4 \right )\leq abc$.

bài này mình sd dồn biến
do vai trò của $a,b,c$ là như nhau nên ta có thể Gs $a\geq b\geq c\geq 0$
đặt $f_{\left ( a,b,c \right )}=abc-4\left ( a+b+c-4 \right )$
ta cm $f_{\left ( a,b,c \right )}\geq f_{\left ( a,a,c \right )}\Leftrightarrow f_{\left ( a,b,c \right )}-f^{_{\left ( a,a,c \right )}}\geq 0$
$\Leftrightarrow \left ( a-b \right )\left ( 4-ac \right )\geq 0$ luôn đúng do $ac\leq ab\leq \frac{1}{2}\left ( a^{2}+b^{2} \right )\leq \frac{1}{2}\left ( a^{2}+b^{2}+c^{^{2}}\right )=4$
như vậy cần cm $f_{\left ( a,a,c \right )}\geq 0$ .tù phép dồn biến ta có được $2a^{2}+c^{2}=8\Leftrightarrow a=\sqrt{\frac{8-c^{2}}{2}}$
ta có $f_{\left ( a,a,c \right )}=a^{2}c+16-4\left ( 2a+c \right )=\frac{8-c^{2}}{2}c+16-4\left ( 2\sqrt{\frac{8-c^{2}}{2}}+c \right )\geq 0$
$\Leftrightarrow 32-c^{3}-8\left ( 2\sqrt{\frac{8-c^{2}}{2}} \right )\geq 0\Leftrightarrow \left ( 32-c^{3} \right )^{2}\geq 128\left ( 8-c^{2} \right )$
$c^{6}+128c^{2}-64c^{3}\geq 0\Leftrightarrow c^{6}+c^{2}\left ( 128-64c \right )\geq 0$ điều này luôn đúng do $c\geq 0$ và $c=min\left \{ a,b,c \right \}\leq 2$
dấu = xảy ra khi $a=b=2;c=0$

[HÀ QUỐC ĐẠT]

Vế trái âm,vế phải dương thì hiển nhiên đúng rồi

[tim1nuathatlac]

bài này còn đúng vs a,b,c là các số thực.như vậy bđt mới mạnh

[Tru09]

Vế trái âm,vế phải dương thì hiển nhiên đúng rồi

Cho mình hỏi , bạn chứng minh vế trái âm kiểu j :-?

[HÀ QUỐC ĐẠT]

sorry,mình bất cẩn quá,nhờ mod xóa dùm

[Secrets In Inequalities VP]

Cho các số $a$, $b$, $c$ không âm thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2} =8$. Chứng minh: $4\left ( a+b+c-4 \right )\leq abc$.

bài này mình sd dồn biến

Không đến nỗi phải dồn biến đâu !
BĐT$\Leftrightarrow
a(4-bc)+(b+c).4\leq 16$
Theo C-S : $VT^{2}= [a(4-bc)+(b+c).4]^{2}\leq [a^2+(b+c)^2][(4-bc)^2+4^2]$
$= (8+2bc)(b^2c^2-8bc+32)$
Ta sẽ CM : $(8+2bc)(b^2c^2-8bc+32)\leq 16^2$
Khai triển ra ta đc : $bc\leq 4$
Luôn đúng vì : $8= a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq b^{2}+c^{2}\geq 2bc\Rightarrow bc\leq 4$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Secrets In Inequalities VP: 21-08-2012 - 07:08

[tim1nuathatlac]

Cho các số $a$, $b$, $c$ không âm thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2} =8$. Chứng minh: $4\left ( a+b+c-4 \right )\leq abc$.

dồn biến, C-S rồi vậy bây giờ mình sd SCHUR bậc 4
đặt $x=a+b+c,y=ab+bc+ca$ ta có $abc\geq \frac{\left ( 4y-x^{2} \right )\left ( x^{2}-y \right )}{6x}=\frac{\left ( x^{2} -16\right )\left ( x^{2}+8 \right )}{12x}$ ($x^{2}-2y=8$)
ta cần cm $\frac{\left ( x^{2}-16 \right )\left ( x^{2}+8 \right )}{12x}\geq 4\left ( x-4 \right )\Leftrightarrow \frac{\left ( x-4 \right )^{2}\left ( x^{2}+8x-8 \right )}{12x}\geq 0$
vậy ta có điều phải cm