Chủ đề này có 185 trả lời

[duaconcuachua98]

Cho x=$\underset{2011 c/s 1}{11...1}$

        y=$1 \underset{2010 c/s 0}{00...0}5$

CMR $\sqrt{xy+1}$ là số tự nhiên

Ta có:$y=9x+6\Rightarrow xy+1=9x^{2}+6x+1=(3x+1)^{2}\Rightarrow \sqrt{xy+1}=3x+1=333...34(2010c/s3)$

[PTKBLYT9C1213]

Cho hai số tự nhiên a,b thõa mãn a²+a=2b²+b.CMR a-b và a+b+1 đều là các số chính phương 

[PTKBLYT9C1213]

Tìm các số nguyên a,b,c thõa mãn $\left\{\begin{matrix} a< b\\ a^{2}=b^{2}+c^{2}+1 \\ a+3=b+c \end{matrix}\right.$

[Zaraki]

Tìm các số nguyên a,b,c thõa mãn $\left\{\begin{matrix} a< b\\ a^{2}=b^{2}+c^{2}+1 \\ a+3=b+c \end{matrix}\right.$

Lời giải. Ta có $a+3=b+c \Rightarrow (a+3)^2=(b+c)^2 \Rightarrow a^2+6a+9=b^2+c^2+2bc \qquad (1)$.

Vì $a^2=b^2+c^2+1$ nên $(1) \Rightarrow 3a+5=bc \qquad (2)$.

Từ $a+3=b+c \Rightarrow a=b+c-3$ và thay vào $(2)$ ta được $3b+3c-4-bc=0 \Leftrightarrow (b-3)(c-3)=5$.

Mặt khác $a+3=b+c$ mà $a<b$ nên $c<3$, do đó $c-3<0$ nên $b-3<0$.

Như vậy ta được

Nếu $b-3=-1,c-3=-5 \Rightarrow b=2,c=-2 \Rightarrow a=-3$.

Nếu $b-3=-5,c-3=-1 \Rightarrow b=-2,c=2 \Rightarrow a=-3$.

Hai trường hợp trên đều thỏa mãn. Vậy $\boxed{ (a,b,c)=(-3;2;-2),(-3;-2;2)}$.

[Trang Luong]

Cho hai số tự nhiên a,b thõa mãn a²+a=2b²+b.CMR a-b và a+b+1 đều là các số chính phương 

Ta có : $a^{2}+a=2b^{2}+b\Rightarrow b^{2}=a^{2}-b^{2}+a-b=\left ( a-b \right )\left ( a+b+1 \right )$

đặt $\left ( a-b,a+b+1 \right )=d\Rightarrow b\vdots d\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1$

Vì $b^{2}$ là scp $\Rightarrow a-b,a+b+1$ là scp

[phatthemkem]

Mới sưu tầm đây!!!

1*) Tìm nghiệm nguyên dương $x,y,z$ thỏa mãn $\frac{19}{x^2}+\frac{79}{y^2}=\frac{z}{1979}$

2) Tìm $x,y,z$ nguyên tố thỏa mãn $x^y+1=z$

3) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình $xy^2+2xy-243y+x=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phatthemkem: 04-05-2013 - 16:13

[hocsinhlopp9]

Mới sưu tầm đây!!!

1) Tìm nghiệm nguyên dương $x,y,z$ thỏa mãn $\frac{19}{x^2}+\frac{79}{y^2}=\frac{z}{1979}$

2) Tìm $x,y,z$ nguyên tố thỏa mãn $x^y+1=z$

3) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình $xy^2+2xy-243y+x=0$

2) Nếu $z$ chẵn $\rightarrow$ $z=2$ (vì z nguyên tố) $\rightarrow$ $x^{y}$ (vì x,y nguyên tố)

suy ra z lẻ suy ra $x^{y}$ chẵn suy ra x chẵn suy ra $x=2$. Vậy:

$2^{y}+1= z$. Nếu y lẻ suy ra $2^{y}+1\vdots 3 \rightarrow z\vdots 3\rightarrow z=3\rightarrow y=1$(vô lý vì y nguyên tố)

Vậy y chẵn suy ra $y=2$ suy ra $z=5$

[Strygwyr]

Hâm nóng topic lại nào   

Bài 72. Giải các hệ phương trình nghiệm nguyên :

a. $\left\{ \begin{array}{l} x+y+z=3\\ x^{3}+y^{3}+z^{3}=3 \end{array} \right.$

 

b. $\left\{ \begin{array}{l} x+y+z=3\\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=3 \end{array} \right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namsub: 08-05-2013 - 16:28

[phatthemkem]

Bài 72. Giải các hệ phương trình nghiệm nguyên :

b. $\left\{ \begin{array}{l} x+y+z=3\\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=3 \end{array} \right.$

Không mất tính tổng quát, giả sử $|x|\leq |y|\leq |z|$, vì $x,y,z$ nguyên nên

$3=x^2+y^2+z^2\geq 3x^2\Leftrightarrow x^2\leq 1\Rightarrow x=-1;0;1$

Xét $x=-1$, ta có $\left\{\begin{matrix} y+z=4\\ y^2+z^2=2 \end{matrix}\right.\Rightarrow$ hệ không có nghiệm nguyên (giải ra là thấy)

Xét $x=0$, ta có $\left\{\begin{matrix} y+z=3\\ y^2+z^2=3 \end{matrix}\right.\Rightarrow$ hệ không có nghiệm nguyên

Xét $x=1$, ta có $\left\{\begin{matrix} y+z=2\\ y^2+z^2=2 \end{matrix}\right.\Rightarrow y=z=1$

Vậy hệ có nghiệm nguyên duy nhất ${1;1;1}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phatthemkem: 04-05-2013 - 15:40

[phatthemkem]

Bài 72. Giải các hệ phương trình nghiệm nguyên :

a. $\left\{ \begin{array}{l} x+y+z=3\\ x^{3}+y^{3}+z^{3}=3 \end{array} \right.$

Ta có $x^3+y^3+z^3=3\Leftrightarrow (x+y)^3-3xy(x+y)-27+z^3=-24$

$\Leftrightarrow (3-z)^3-3xy(3-z)-(3-z)(z^2+3z+9)=-24$

$\Leftrightarrow (3-z)(z^2-6z+9-3xy-z^2-3z-9)=-24$

$\Leftrightarrow (3-z)(3z+xy)=8$

Tới đây lập bảng là ra

[PTKBLYT9C1213]

Không mất tính tổng quát, giả sử $|x|\leq |y|\leq |z|$, vì $x,y,z$ nguyên nên

$3=x^2+y^2+z^2\geq 3x^2\Leftrightarrow x^2\leq 1\Rightarrow x=-1;0;1$

Xét $x=-1$, ta có $\left\{\begin{matrix} y+z=4\\ y^2+z^2=2 \end{matrix}\right.\Rightarrow$ hệ không có nghiệm nguyên (giải ra là thấy)

Xét $x=0$, ta có $\left\{\begin{matrix} y+z=3\\ y^2+z^2=3 \end{matrix}\right.\Rightarrow$ hệ không có nghiệm nguyên

Xét $x=1$, ta có $\left\{\begin{matrix} y+z=2\\ y^2+z^2=2 \end{matrix}\right.\Rightarrow y=z=1$

Vậy hệ có nghiệm nguyên duy nhất ${1;1;1}$

Cách khác:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

3(x²+y²+z²)$\geq$(x+y+z)²

Dấu "=" khi x=y=z=1

[PTKBLYT9C1213]

Ta có $x^3+y^3+z^3=3\Leftrightarrow (x+y)^3-3xy(x+y)-27+z^3=-24$

$\Leftrightarrow (3-z)^3-3xy(3-z)-(3-z)(z^2+3z+9)=-24$

$\Leftrightarrow (3-z)(z^2-6z+9-3xy-z^2-3z-9)=-24$

$\Leftrightarrow (3-z)(3z+xy)=8$

Tới đây lập bảng là ra

Áp dụng bất đẳng thức Holder ta có:

(1+1+1)(1+1+1)(x³+y³+z³)$\geq$(x+y+z)³

Dấu "=" khi x=y=z=1

[phatthemkem]

Áp dụng bất đẳng thức Holder ta có:

(1+1+1)(1+1+1)(x³+y³+z³)$\geq$(x+y+z)³

Dấu "=" khi x=y=z=1

Bạn có tài liệu về BĐT Holder không, nếu có thì gửi cho tui cái.

[Strygwyr]

Tiếp tục nào

Bài 73* : Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm nguyên dương :

a.$x^{4}+y^{4}=z^{2}$

b.$x^{4}-y^{4}=z^{2}$

Bài 74 : Có tồn tại hay không các số nguyên $x$,$y$ thoả mãn điều kiện $1992x^{1993}+1993y^{4}=1995$

Bài 75 : Giải phương trình nghiệm nguyên : $x^{2}+x=y^{4}+y^{3}+y^{2}+y$

[ilovelife]

Tiếp tục nào

Bài 73* : Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm nguyên dương :

a.$x^{4}+y^{4}=z^{2}$

b.$x^{4}-y^{4}=z^{2}$

Bài 74 : Có tồn tại hay không các số nguyên $x$,$y$ thoả mãn điều kiện $1992x^{1993}+1993y^{4}=1995$

Bài 75 : Giải phương trình nghiệm nguyên : $x^{2}+x=y^{4}+y^{3}+y^{2}+y$

Bài 74: Xét đồng dư cho $4 \implies$ vô nghiệm

Bài 75: Nhân thêm $4$ rồi cộng $1$ vào $2$ vế, rồi chặn sẽ tìm đuợc nghiệm

Bài 73: a), b)
Đưa về phương trình pytago, chắc biểu diễn các nghiệm 1 hồi $\implies$ vô nghiệm (chưa thử, không biết lùi vô hạn được không)

EDIT: Đây là 1 bài toán của Nagell, đã được chứng minh vô nghiệm (các bạn thử Google xem có solution không ?).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ilovelife: 08-05-2013 - 18:35

[nk0kckungtjnh]

Cho các số thực $x_{1},x_{2},....,x_{8888}$

Trong đó:

 $x_{8888}>0$

Tổng 3 số liên tiếp dương

Tổng cả 8888 số âm.

So sánh: $x_{999}.x_{1002}$ và $x_{8888}.x_{1000}$

[Khang Hy]

Chém luôn bài này(Topic sôi động quá )
Đặt $\frac{a^2+b^2}{ab}=k\Rightarrow a^2+b^2=kab$
Giả sử $a\neq b$
Gọi d là ước nguyên tố lớn nhất của a,b $\Rightarrow a=da',b=db'(a\neq b)$
Thay vào,ta có :
$d^2a'^2+d^2b'^2=kd^2a'b'\Rightarrow a'^2+b'^2=ka'b'$
Từ hệ thức => $a'^2\vdots b',b'^2\vdots a'\Rightarrow a'=b'$ Mâu thuẫn.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Đây là bài toán 2 chiều rất đẹp.Cho a,b là các số nguyên.CMR $a^2+b^2\vdots ab\Leftrightarrow a=b$ các bạn ôn thi tuyển sinh chuyên nên xem kĩ

ua sao tu he thuc suy ra $a'^{2}\vdots b' , b'^{2}\vdots a'$ vay anh?

[triethuynhmath]

ua sao tu he thuc suy ra $a'^{2}\vdots b' , b'^{2}\vdots a'$ vay anh?

tại vì $ka'b' \vdots b', b'^2 \vdots b'$ nên cái còn lại cũng phải chia hết .

[xpmrz]

chủ thớt học lớp 9 à :">

[phatthemkem]

Bài 76: Giải phương trình nghiệm nguyên $x^3+y^3+z^3=2014^2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phatthemkem: 04-06-2013 - 18:17