Cho x=$\underset{2011 c/s 1}{11...1}$
y=$1 \underset{2010 c/s 0}{00...0}5$
CMR $\sqrt{xy+1}$ là số tự nhiên
Ta có:$y=9x+6\Rightarrow xy+1=9x^{2}+6x+1=(3x+1)^{2}\Rightarrow \sqrt{xy+1}=3x+1=333...34(2010c/s3)$
Cho x=$\underset{2011 c/s 1}{11...1}$
y=$1 \underset{2010 c/s 0}{00...0}5$
CMR $\sqrt{xy+1}$ là số tự nhiên
Ta có:$y=9x+6\Rightarrow xy+1=9x^{2}+6x+1=(3x+1)^{2}\Rightarrow \sqrt{xy+1}=3x+1=333...34(2010c/s3)$
Tìm các số nguyên a,b,c thõa mãn $\left\{\begin{matrix} a< b\\ a^{2}=b^{2}+c^{2}+1 \\ a+3=b+c \end{matrix}\right.$
Lời giải. Ta có $a+3=b+c \Rightarrow (a+3)^2=(b+c)^2 \Rightarrow a^2+6a+9=b^2+c^2+2bc \qquad (1)$.
Vì $a^2=b^2+c^2+1$ nên $(1) \Rightarrow 3a+5=bc \qquad (2)$.
Từ $a+3=b+c \Rightarrow a=b+c-3$ và thay vào $(2)$ ta được $3b+3c-4-bc=0 \Leftrightarrow (b-3)(c-3)=5$.
Mặt khác $a+3=b+c$ mà $a<b$ nên $c<3$, do đó $c-3<0$ nên $b-3<0$.
Như vậy ta được
Nếu $b-3=-1,c-3=-5 \Rightarrow b=2,c=-2 \Rightarrow a=-3$.
Nếu $b-3=-5,c-3=-1 \Rightarrow b=-2,c=2 \Rightarrow a=-3$.
Hai trường hợp trên đều thỏa mãn. Vậy $\boxed{ (a,b,c)=(-3;2;-2),(-3;-2;2)}$.
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
Cho hai số tự nhiên a,b thõa mãn a2+a=2b2+b.CMR a-b và a+b+1 đều là các số chính phương
Ta có : $a^{2}+a=2b^{2}+b\Rightarrow b^{2}=a^{2}-b^{2}+a-b=\left ( a-b \right )\left ( a+b+1 \right )$
đặt $\left ( a-b,a+b+1 \right )=d\Rightarrow b\vdots d\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1$
Vì $b^{2}$ là scp $\Rightarrow a-b,a+b+1$ là scp
Mới sưu tầm đây!!!
1*) Tìm nghiệm nguyên dương $x,y,z$ thỏa mãn $\frac{19}{x^2}+\frac{79}{y^2}=\frac{z}{1979}$
2) Tìm $x,y,z$ nguyên tố thỏa mãn $x^y+1=z$
3) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình $xy^2+2xy-243y+x=0$
Edited by phatthemkem, 04-05-2013 - 16:13.
“Hầu hết mọi người đều chấp nhận thua cuộc ngay khi họ sắp thành công. Họ dừng lại
ngay trước vạch đích, cách chiến thắng chỉ một bàn chân” -H. Ross Perot
“Tránh xa những kẻ coi nhẹ tham vọng của bạn. Những kẻ nhỏ nhen luôn như thế, còn
những người thực sự vĩ đại sẽ khiến bạn cảm thấy rằng bạn cũng có thể trở nên vĩ đại”
-Mark Twain
Huỳnh Tiến Phát ETP
$WELCOME$ $TO$ $MY$ $FACEBOOK$: https://www.facebook.com/phat.huynhtien.39
Mới sưu tầm đây!!!
1) Tìm nghiệm nguyên dương $x,y,z$ thỏa mãn $\frac{19}{x^2}+\frac{79}{y^2}=\frac{z}{1979}$
2) Tìm $x,y,z$ nguyên tố thỏa mãn $x^y+1=z$
3) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình $xy^2+2xy-243y+x=0$
2) Nếu $z$ chẵn $\rightarrow$ $z=2$ (vì z nguyên tố) $\rightarrow$ $x^{y}$ (vì x,y nguyên tố)
suy ra z lẻ suy ra $x^{y}$ chẵn suy ra x chẵn suy ra $x=2$. Vậy:
$2^{y}+1= z$. Nếu y lẻ suy ra $2^{y}+1\vdots 3 \rightarrow z\vdots 3\rightarrow z=3\rightarrow y=1$(vô lý vì y nguyên tố)
Vậy y chẵn suy ra $y=2$ suy ra $z=5$
Hâm nóng topic lại nào
Bài 72. Giải các hệ phương trình nghiệm nguyên :
a. $\left\{ \begin{array}{l} x+y+z=3\\ x^{3}+y^{3}+z^{3}=3 \end{array} \right.$
b. $\left\{ \begin{array}{l} x+y+z=3\\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=3 \end{array} \right.$
Edited by namsub, 08-05-2013 - 16:28.
"Nothing is impossible"
(Napoleon Bonaparte)
Bài 72. Giải các hệ phương trình nghiệm nguyên :
b. $\left\{ \begin{array}{l} x+y+z=3\\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=3 \end{array} \right.$
Không mất tính tổng quát, giả sử $|x|\leq |y|\leq |z|$, vì $x,y,z$ nguyên nên
$3=x^2+y^2+z^2\geq 3x^2\Leftrightarrow x^2\leq 1\Rightarrow x=-1;0;1$
Xét $x=-1$, ta có $\left\{\begin{matrix} y+z=4\\ y^2+z^2=2 \end{matrix}\right.\Rightarrow$ hệ không có nghiệm nguyên (giải ra là thấy)
Xét $x=0$, ta có $\left\{\begin{matrix} y+z=3\\ y^2+z^2=3 \end{matrix}\right.\Rightarrow$ hệ không có nghiệm nguyên
Xét $x=1$, ta có $\left\{\begin{matrix} y+z=2\\ y^2+z^2=2 \end{matrix}\right.\Rightarrow y=z=1$
Vậy hệ có nghiệm nguyên duy nhất ${1;1;1}$
Edited by phatthemkem, 04-05-2013 - 15:40.
“Hầu hết mọi người đều chấp nhận thua cuộc ngay khi họ sắp thành công. Họ dừng lại
ngay trước vạch đích, cách chiến thắng chỉ một bàn chân” -H. Ross Perot
“Tránh xa những kẻ coi nhẹ tham vọng của bạn. Những kẻ nhỏ nhen luôn như thế, còn
những người thực sự vĩ đại sẽ khiến bạn cảm thấy rằng bạn cũng có thể trở nên vĩ đại”
-Mark Twain
Huỳnh Tiến Phát ETP
$WELCOME$ $TO$ $MY$ $FACEBOOK$: https://www.facebook.com/phat.huynhtien.39
Bài 72. Giải các hệ phương trình nghiệm nguyên :
a. $\left\{ \begin{array}{l} x+y+z=3\\ x^{3}+y^{3}+z^{3}=3 \end{array} \right.$
Ta có $x^3+y^3+z^3=3\Leftrightarrow (x+y)^3-3xy(x+y)-27+z^3=-24$
$\Leftrightarrow (3-z)^3-3xy(3-z)-(3-z)(z^2+3z+9)=-24$
$\Leftrightarrow (3-z)(z^2-6z+9-3xy-z^2-3z-9)=-24$
$\Leftrightarrow (3-z)(3z+xy)=8$
Tới đây lập bảng là ra
“Hầu hết mọi người đều chấp nhận thua cuộc ngay khi họ sắp thành công. Họ dừng lại
ngay trước vạch đích, cách chiến thắng chỉ một bàn chân” -H. Ross Perot
“Tránh xa những kẻ coi nhẹ tham vọng của bạn. Những kẻ nhỏ nhen luôn như thế, còn
những người thực sự vĩ đại sẽ khiến bạn cảm thấy rằng bạn cũng có thể trở nên vĩ đại”
-Mark Twain
Huỳnh Tiến Phát ETP
$WELCOME$ $TO$ $MY$ $FACEBOOK$: https://www.facebook.com/phat.huynhtien.39
Không mất tính tổng quát, giả sử $|x|\leq |y|\leq |z|$, vì $x,y,z$ nguyên nên
$3=x^2+y^2+z^2\geq 3x^2\Leftrightarrow x^2\leq 1\Rightarrow x=-1;0;1$
Xét $x=-1$, ta có $\left\{\begin{matrix} y+z=4\\ y^2+z^2=2 \end{matrix}\right.\Rightarrow$ hệ không có nghiệm nguyên (giải ra là thấy)
Xét $x=0$, ta có $\left\{\begin{matrix} y+z=3\\ y^2+z^2=3 \end{matrix}\right.\Rightarrow$ hệ không có nghiệm nguyên
Xét $x=1$, ta có $\left\{\begin{matrix} y+z=2\\ y^2+z^2=2 \end{matrix}\right.\Rightarrow y=z=1$
Vậy hệ có nghiệm nguyên duy nhất ${1;1;1}$
Cách khác:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:
3(x2+y2+z2)$\geq$(x+y+z)2
Dấu "=" khi x=y=z=1
THE SHORTEST ANSWER IS DOING
Ta có $x^3+y^3+z^3=3\Leftrightarrow (x+y)^3-3xy(x+y)-27+z^3=-24$
$\Leftrightarrow (3-z)^3-3xy(3-z)-(3-z)(z^2+3z+9)=-24$
$\Leftrightarrow (3-z)(z^2-6z+9-3xy-z^2-3z-9)=-24$
$\Leftrightarrow (3-z)(3z+xy)=8$
Tới đây lập bảng là ra
Áp dụng bất đẳng thức Holder ta có:
(1+1+1)(1+1+1)(x3+y3+z3)$\geq$(x+y+z)3
Dấu "=" khi x=y=z=1
THE SHORTEST ANSWER IS DOING
Áp dụng bất đẳng thức Holder ta có:
(1+1+1)(1+1+1)(x3+y3+z3)$\geq$(x+y+z)3
Dấu "=" khi x=y=z=1
Bạn có tài liệu về BĐT Holder không, nếu có thì gửi cho tui cái.
“Hầu hết mọi người đều chấp nhận thua cuộc ngay khi họ sắp thành công. Họ dừng lại
ngay trước vạch đích, cách chiến thắng chỉ một bàn chân” -H. Ross Perot
“Tránh xa những kẻ coi nhẹ tham vọng của bạn. Những kẻ nhỏ nhen luôn như thế, còn
những người thực sự vĩ đại sẽ khiến bạn cảm thấy rằng bạn cũng có thể trở nên vĩ đại”
-Mark Twain
Huỳnh Tiến Phát ETP
$WELCOME$ $TO$ $MY$ $FACEBOOK$: https://www.facebook.com/phat.huynhtien.39
Tiếp tục nào
Bài 73* : Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm nguyên dương :
a.$x^{4}+y^{4}=z^{2}$
b.$x^{4}-y^{4}=z^{2}$
Bài 74 : Có tồn tại hay không các số nguyên $x$,$y$ thoả mãn điều kiện $1992x^{1993}+1993y^{4}=1995$
Bài 75 : Giải phương trình nghiệm nguyên : $x^{2}+x=y^{4}+y^{3}+y^{2}+y$
"Nothing is impossible"
(Napoleon Bonaparte)
Tiếp tục nào
Bài 73* : Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm nguyên dương :
a.$x^{4}+y^{4}=z^{2}$
b.$x^{4}-y^{4}=z^{2}$
Bài 74 : Có tồn tại hay không các số nguyên $x$,$y$ thoả mãn điều kiện $1992x^{1993}+1993y^{4}=1995$
Bài 75 : Giải phương trình nghiệm nguyên : $x^{2}+x=y^{4}+y^{3}+y^{2}+y$
Bài 74: Xét đồng dư cho $4 \implies$ vô nghiệm
Bài 75: Nhân thêm $4$ rồi cộng $1$ vào $2$ vế, rồi chặn sẽ tìm đuợc nghiệm
Bài 73: a), b)
Đưa về phương trình pytago, chắc biểu diễn các nghiệm 1 hồi $\implies$ vô nghiệm (chưa thử, không biết lùi vô hạn được không)
EDIT: Đây là 1 bài toán của Nagell, đã được chứng minh vô nghiệm (các bạn thử Google xem có solution không ?).
Edited by ilovelife, 08-05-2013 - 18:35.
God made the integers, all else is the work of man.
People should not be afraid of their goverment, goverment should be afraid of their people.
Cho các số thực $x_{1},x_{2},....,x_{8888}$
Trong đó:
$x_{8888}>0$
Tổng 3 số liên tiếp dương
Tổng cả 8888 số âm.
So sánh: $x_{999}.x_{1002}$ và $x_{8888}.x_{1000}$
Hãy Đánh Bại Những Gì Yếu Đuối Để Biết Rằng
Nỗ Lực Hơn Hẳn Tài Năng
- Nhân Chính -
Chém luôn bài này(Topic sôi động quá )
Đặt $\frac{a^2+b^2}{ab}=k\Rightarrow a^2+b^2=kab$
Giả sử $a\neq b$
Gọi d là ước nguyên tố lớn nhất của a,b $\Rightarrow a=da',b=db'(a\neq b)$
Thay vào,ta có :
$d^2a'^2+d^2b'^2=kd^2a'b'\Rightarrow a'^2+b'^2=ka'b'$
Từ hệ thức => $a'^2\vdots b',b'^2\vdots a'\Rightarrow a'=b'$ Mâu thuẫn.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Đây là bài toán 2 chiều rất đẹp.Cho a,b là các số nguyên.CMR $a^2+b^2\vdots ab\Leftrightarrow a=b$ các bạn ôn thi tuyển sinh chuyên nên xem kĩ
ua sao tu he thuc suy ra $a'^{2}\vdots b' , b'^{2}\vdots a'$ vay anh?
Bài 76: Giải phương trình nghiệm nguyên $x^3+y^3+z^3=2014^2$
Edited by phatthemkem, 04-06-2013 - 18:17.
“Hầu hết mọi người đều chấp nhận thua cuộc ngay khi họ sắp thành công. Họ dừng lại
ngay trước vạch đích, cách chiến thắng chỉ một bàn chân” -H. Ross Perot
“Tránh xa những kẻ coi nhẹ tham vọng của bạn. Những kẻ nhỏ nhen luôn như thế, còn
những người thực sự vĩ đại sẽ khiến bạn cảm thấy rằng bạn cũng có thể trở nên vĩ đại”
-Mark Twain
Huỳnh Tiến Phát ETP
$WELCOME$ $TO$ $MY$ $FACEBOOK$: https://www.facebook.com/phat.huynhtien.39
0 members, 1 guests, 0 anonymous users