Bài :
Tìm nghiệm nguyên của PT $2^x+3^y=z^2$
Tìm nghiệm nguyên của PT $2^x+3^y=z^2$
Started By yeutoan11, 17-08-2012 - 20:20
#1
Posted 17-08-2012 - 20:20
- WhjteShadow and AnnieSally like this
Dựng nước lấy việc học làm đầu. Muốn thịnh trị lấy nhân tài làm gốc.
NGUYỄN HUỆ
Nguyễn Trần Huy
Tự hào là thành viên VMF
NGUYỄN HUỆ
Nguyễn Trần Huy
Tự hào là thành viên VMF
#2
Posted 17-08-2012 - 20:41
Mình chỉ giải trong trường hợp x,y là các số nguyên không âm:Bài :
Tìm nghiệm nguyên của PT $2^x+3^y=z^2$
$x=y=0$ (loại)
$x=0,y=1\Rightarrow z=2$
x=1,y=0 (loại)
Xét x,y>1
$2^{x}$ chẵn, $3^{y}$ lẻ $\Rightarrow$ z là số lẻ và không chia hết cho 3
$ 2^{x}\vdots 4$
$\Rightarrow 3^{y}\equiv z^{2}(mod 4)$
Nếu y chẵn thì $3^{y}\equiv 1(mod 4)$
Nếu y lẻ thì $3^{y}\equiv -1(mod 4)$ (loại)
Đặt y=2a
$\Rightarrow 2^{x}+3^{2a}=z^{2}$
$\Leftrightarrow (z-3^{a})(z+3^{a})=2^{x}$
$\Rightarrow (z-3^{a})\vdots 2, (z+3^{a})\vdots 2$
Mà $(z-3^{a})-(z+3^{a})=2.3^{a}\vdots 2$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
z-3^{a}=2 & \\
z+3^{a}=2^{x-1} &
\end{matrix}\right.$
$\Rightarrow 3^{a}=2^{x-2}-1$
Mà $x^{2}\equiv 1(mod 3)\Rightarrow 2^{x}\equiv 1 (mod 3)$
$\Rightarrow x\vdots 2$
Đặt x=2b $\Rightarrow 3^{a}=(2^{b-1}+1)(2^{b-1}-1)$
Mà $(2^{b-1}+1)-(2^{b-1}-1)=2$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2^{b-1}-1=1 & \\ 2^{b-1}1 =3^{a}& \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=2 & \\ a=1 & \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow x=4, y=2, z=3$
Vậy nếu x,y nghuyên không âm thì (x;y;z)=(0;1;2);(4;2;3)
Edited by henry0905, 17-08-2012 - 20:50.
- perfectstrong and L Lawliet like this
#3
Posted 17-08-2012 - 20:45
Bài này dễ à nhaBài :
Tìm nghiệm nguyên của PT $2^x+3^y=z^2$
Giải như sau:
Nhận thấy $x,y$ cùng $\geq 0$ hoặc cùng $<0$ vì nếu một số $\geq 0$ và một số $<0$ thì $2^x+3^x$ không nguyên vô lý
Vì $z^2$ mũ chẵn nên có thể giả sử $z$ không âm
TH1: $x,y<0$ suy ra $2^x+3^y=\dfrac{1}{2^{-x}}+\dfrac{1}{3^{-y}}$ với $-x,-y>0$ suy ra $\dfrac{1}{2^{-x}}+\dfrac{1}{3^{-y}}\le \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}<1$ không là số nguyên vô lý
TH2: $x,y\geq 0$
Nếu $y=0 \Rightarrow 2^x+1=z^2 \Rightarrow 2^x=(z-1)(z+1) \Rightarrow 2^a=z+1,2^b=z-1 \Rightarrow 2^a-2^b=2 \Rightarrow a=2,b=1 \Rightarrow z=3$ nhưng ta giả sử $z$ không âm nên còn nghiệm $z=-3$
Nếu $y\geq 1$ suy ra $3^y \vdots 3$ suy ra $x$ chẵn vì nếu $x$ lẻ thì $2^x \equiv 2 \pmod{3} \Rightarrow z^2 \equiv 2 \pmod{3}$
Do đó $x$ chẵn
Nếu $x=0 \Rightarrow 1+3^y=z^2 \Rightarrow (z-1)(z+1)=3^y \Rightarrow z-1=3^b,z+1=3^a \Rightarrow 3^a-3^b=2 \Rightarrow a=2,b=1$ suy ra $z=\pm 2$ suy ra $y=1$
Nếu $x\geq 2$ ta có $2^x \vdots 4$ mà $3^y \equiv 1 \pmod{4}$ (do $z^2 \equiv 1 \pmod{4}$) nên $y$ chẵn
Do đó $x=2m,y=2n$
Suy ra $(2^m)^2+(3^n)^2=z^2$
Thấy $gcd(2^m,3^n)=1$ nên $2^m,3^n$ là bộ ba số pytago nguyên thủy mà $2^m$ chẵn nên $2^m=2xy,3^n=x^2-y^2$
Suy ra $2^{m-1}=xy$ và $3^n=x^2-y^2$
Nếu $m=1 \Rightarrow x=y=1 \Rightarrow 3^n=0$ vô lý
Nếu $m>1$ ta có $x,y$ khác tính chẵn lẻ do $3^n$ nên $x=2^{m-1},y=1$ suy ra $3^n=(2^{m-1}-1)(2^{m-1}+1)$
Nên $2^{m-1}-1=3^b,2^{m-1}+1=3^a \Rightarrow 3^a-3^b=2 \Rightarrow a=1,b=0$ đến đây đã dễ
- perfectstrong, L Lawliet, hv4me and 2 others like this
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users