Chủ đề này có 2 trả lời

[yeutoan11]

Bài :
Tìm nghiệm nguyên của PT $2^x+3^y=z^2$

[henry0905]

Bài :
Tìm nghiệm nguyên của PT $2^x+3^y=z^2$

Mình chỉ giải trong trường hợp x,y là các số nguyên không âm:
$x=y=0$ (loại)
$x=0,y=1\Rightarrow z=2$
x=1,y=0 (loại)
Xét x,y>1
$2^{x}$ chẵn, $3^{y}$ lẻ $\Rightarrow$ z là số lẻ và không chia hết cho 3
$ 2^{x}\vdots 4$
$\Rightarrow 3^{y}\equiv z^{2}(mod 4)$
Nếu y chẵn thì $3^{y}\equiv 1(mod 4)$
Nếu y lẻ thì $3^{y}\equiv -1(mod 4)$ (loại)
Đặt y=2a
$\Rightarrow 2^{x}+3^{2a}=z^{2}$
$\Leftrightarrow (z-3^{a})(z+3^{a})=2^{x}$
$\Rightarrow (z-3^{a})\vdots 2, (z+3^{a})\vdots 2$
Mà $(z-3^{a})-(z+3^{a})=2.3^{a}\vdots 2$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
z-3^{a}=2 & \\
z+3^{a}=2^{x-1} &
\end{matrix}\right.$
$\Rightarrow 3^{a}=2^{x-2}-1$
Mà $x^{2}\equiv 1(mod 3)\Rightarrow 2^{x}\equiv 1 (mod 3)$
$\Rightarrow x\vdots 2$
Đặt x=2b $\Rightarrow 3^{a}=(2^{b-1}+1)(2^{b-1}-1)$
Mà $(2^{b-1}+1)-(2^{b-1}-1)=2$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2^{b-1}-1=1 & \\ 2^{b-1}1 =3^{a}& \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=2 & \\ a=1 & \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow x=4, y=2, z=3$
Vậy nếu x,y nghuyên không âm thì (x;y;z)=(0;1;2);(4;2;3)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi henry0905: 17-08-2012 - 20:50

[nguyenta98]

Bài :
Tìm nghiệm nguyên của PT $2^x+3^y=z^2$

Bài này dễ à nha
Giải như sau:
Nhận thấy $x,y$ cùng $\geq 0$ hoặc cùng $<0$ vì nếu một số $\geq 0$ và một số $<0$ thì $2^x+3^x$ không nguyên vô lý
Vì $z^2$ mũ chẵn nên có thể giả sử $z$ không âm
TH1: $x,y<0$ suy ra $2^x+3^y=\dfrac{1}{2^{-x}}+\dfrac{1}{3^{-y}}$ với $-x,-y>0$ suy ra $\dfrac{1}{2^{-x}}+\dfrac{1}{3^{-y}}\le \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}<1$ không là số nguyên vô lý
TH2: $x,y\geq 0$
Nếu $y=0 \Rightarrow 2^x+1=z^2 \Rightarrow 2^x=(z-1)(z+1) \Rightarrow 2^a=z+1,2^b=z-1 \Rightarrow 2^a-2^b=2 \Rightarrow a=2,b=1 \Rightarrow z=3$ nhưng ta giả sử $z$ không âm nên còn nghiệm $z=-3$
Nếu $y\geq 1$ suy ra $3^y \vdots 3$ suy ra $x$ chẵn vì nếu $x$ lẻ thì $2^x \equiv 2 \pmod{3} \Rightarrow z^2 \equiv 2 \pmod{3}$
Do đó $x$ chẵn
Nếu $x=0 \Rightarrow 1+3^y=z^2 \Rightarrow (z-1)(z+1)=3^y \Rightarrow z-1=3^b,z+1=3^a \Rightarrow 3^a-3^b=2 \Rightarrow a=2,b=1$ suy ra $z=\pm 2$ suy ra $y=1$
Nếu $x\geq 2$ ta có $2^x \vdots 4$ mà $3^y \equiv 1 \pmod{4}$ (do $z^2 \equiv 1 \pmod{4}$) nên $y$ chẵn
Do đó $x=2m,y=2n$
Suy ra $(2^m)^2+(3^n)^2=z^2$
Thấy $gcd(2^m,3^n)=1$ nên $2^m,3^n$ là bộ ba số pytago nguyên thủy mà $2^m$ chẵn nên $2^m=2xy,3^n=x^2-y^2$
Suy ra $2^{m-1}=xy$ và $3^n=x^2-y^2$
Nếu $m=1 \Rightarrow x=y=1 \Rightarrow 3^n=0$ vô lý
Nếu $m>1$ ta có $x,y$ khác tính chẵn lẻ do $3^n$ nên $x=2^{m-1},y=1$ suy ra $3^n=(2^{m-1}-1)(2^{m-1}+1)$
Nên $2^{m-1}-1=3^b,2^{m-1}+1=3^a \Rightarrow 3^a-3^b=2 \Rightarrow a=1,b=0$ đến đây đã dễ