Chủ đề này có 2 trả lời

[duonghieu]

Cho $\triangle ABC$, trực tâm $H$ $(O_1)$ đi qua $H$ với $O_1$ la trung diem $BC$ cắt $BC$ tại A₁,A₂.(O₂) đi qua $H$ voi O₂ là trung điểm $AC$ cắt $AC$ tại B₁,B₂.(O₃) đi qua $H$ voi O₃ là trung điểm $AB$ cắt $AB$ tai C₁,C₂ .CMR:A₁,A₂,B₁,B₂,C₁,C₂ đồng viên
______________________
Hãy gõ tiếng việt có dấu để tôn trọng người đọc bạn nhé .
Mong bạn sẽ đóng góp cho VMF phát triển vững mạnh .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 17-08-2012 - 21:57

[BlackSelena]

Cho $\triangle ABC$, trực tâm $H$ $(O_1)$ đi qua $H$ với $O_1$ la trung diem $BC$ cắt $BC$ tại A₁,A₂.(O₂) đi qua $H$ voi O₂ là trung điểm $AC$ cắt $AC$ tại B₁,B₂.(O₃) đi qua $H$ voi O₃ là trung điểm $AB$ cắt $AB$ tai C₁,C₂ .CMR:A₁,A₂,B₁,B₂,C₁,C₂ đồng viên
______________________
Hãy gõ tiếng việt có dấu để tôn trọng người đọc bạn nhé .
Mong bạn sẽ đóng góp cho VMF phát triển vững mạnh .

Giải như sau:
Trước hết ta chứng minh $AH$ là trục đẳng phương của hai đường tròn $O_3$ và $O_2$
Thật vậy, giả sử $(O_3) \cap (O_2) = M$ thì theo tính chất của trục đẳng phương, ta có $HM \perp O_2O_3$.
Mà dễ thấy $O_3O_2 \parallel BC$, $AH \perp BC$
$\Rightarrow A,M,H$ thẳng hàng. Vậy $AH$ là trục đẳng phương của hai đường tròn $O_3$ và $O_2$
$\Rightarrow AC_1.AC_2 = AB_1.AB_2$
$\Rightarrow C_1B_1B_2C_2$ là tứ giác nội tiếp
Chứng minh tương tự ta cũng có $C_1C_2A_1A_2:tgnt; C_1B_1B_2A_2:tgnt$
Điều này dẫn tới $A_1,A_2,B_1,B_2,C_1,C_2$ đồng viên.
_________
P/s: nhiều bạn chắc chưa biết trục đẳng phương là cái gì. Nói nôm na đó chính là phương tích của 1 điểm ngoài đường tròn đó. Hay chính là 1 bài toán quen thuộc. Cho điểm $M$ nằm ngoài đường tròn, cát tuyến từ $M$ đến đường tròn cắt đường tròn tại $A,B,C,D$ khi đó ta có: $MA.MB = MC.MD$ !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 30-08-2012 - 12:37

[BlackSelena]

Hnay ngồi tiết văn buồn ngủ quá, nhận ra cái khám phá này.
Theo tính chất tứ giác nội tiếp thì ta có 6 điểm kia nằm trên đường tròn có tâm là tâm đường tròn ngoại tiếp $\triangle ABC$.