CMR: $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq \frac{a^3}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^3}{(b-a)(b-c)}+\frac{c^3}{(c-a)(c-b)}$
CMR: $\sum \frac{a^2}{b}\geq \sum \frac{a^3}{(a-b)(a-c)}$
Started By ElenaIP97, 19-08-2012 - 23:26
#2
Posted 27-08-2012 - 19:52
WhjteShadow
-
- Phó Quản lý Toán Ứng dụ
-
- 1323 posts
Thượng úy
Lâu quá không ai làm thì mình làm vậy ^^
Ta có $\frac{a^3}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^3}{(b-a)(b-c)}+\frac{c^3}{(c-a)(c-b)}$
$$=\frac{a^3(c-b)+b^3(a-c)+c^3(b-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)}$$
$$=\frac{(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)}{(a-b)(b-c)(c-a)}=a+b+c$$
Vậy ta chỉ cần chứng minh:
$$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c$$
Nhưng điều này đúng the0 $Cauchy-Schwarz$ (Hình như thiếu điều kiện $a,b,c\geq 0$ thì phải :-s)
Dấu bằng không xảy ra do ĐKXĐ của bài toán $\square$
Ta có $\frac{a^3}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^3}{(b-a)(b-c)}+\frac{c^3}{(c-a)(c-b)}$
$$=\frac{a^3(c-b)+b^3(a-c)+c^3(b-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)}$$
$$=\frac{(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)}{(a-b)(b-c)(c-a)}=a+b+c$$
Vậy ta chỉ cần chứng minh:
$$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c$$
Nhưng điều này đúng the0 $Cauchy-Schwarz$ (Hình như thiếu điều kiện $a,b,c\geq 0$ thì phải :-s)
Dấu bằng không xảy ra do ĐKXĐ của bài toán $\square$
Edited by WhjteShadow, 27-08-2012 - 19:55.
- HÀ QUỐC ĐẠT, BlackSelena, danganhaaaa and 1 other like this
“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users
