ĐỀ RA KÌ NÀY
CÁC LỚP THCS
Bài T1/421. (Lớp 6). Cho tổng gồm 2012 số hạng \[S = \frac{1}{5} + \frac{2}{{{5^2}}} + \frac{3}{{{5^3}}} + ... + \frac{{2012}}{{{5^{2012}}}}\]
Hãy so sánh $S$ với $\frac{1}{3}$.
PHẠM TRUNG KIÊN
(GV THCS Hồ Tùng Mậu, Ân Thi, Hưng Yên)
Bài T2/421. (Lớp 7). Cho tam giác $ABC$ có $\widehat {ABC} = {40^0},\widehat {ACB} = {30^0}$. Bên ngoài tam giác đó dựng tam giác $ADC$ có $\widehat {ACD} = \widehat {CAD} = {50^0}$. Chứng minh rằng tam giác $BAD$ cân.
THÁI NHẬT PHƯỢNG
(GV THCS Cam Nghĩa, Cam Ranh, Khánh Hòa)
Bài T3/421. Tìm các số tự nhiên $a,b,c$ với $c < 20$ thỏa mãn ${a^2} + ab + {b^2} = 70c$.
NGUYỄN ĐỨC TẤN
(TP. Hồ Chí Minh)
Bài T4/421. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \[P = \sqrt {1 - \frac{x}{{y + z}}} + \sqrt {1 - \frac{y}{{z + x}}} + \sqrt {1 - \frac{z}{{x + y}}} \]
Trong đó $x,y,z$ là độ dài ba cạnh của một tam giác.
ĐINH XUÂN HÙNG
(GV THCS Gia Hanh, Can Lộc, Hà Tĩnh)
Bài T5/421. Cho đường tròn $\left( O \right)$, dây cung $BC$ cố định. $A$ là điểm di động trên đường thẳng $BC$, $A$ nằm ngoài đường tròn $\left( O \right)$. Từ $A$ kẻ hai tiếp tuyến $AM, AN$ với đường tròn $\left( O \right).\,\,\left( {M,N \in \left( O \right)} \right)$. Qua $B$ kẻ đường thẳng song song với $AM$ cắt $MN$ tại $E$. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác $BEN$ luôn đi qua hai điểm cố định khi $A$ di động trên đường thẳng $BC$.
BÙI VĂN CHI
(GV THCS Lê Lợi, Quy Nhơn, Bình Định)
CÁC LỚP THPT
Bài T6/421. Cho $\frac{1}{3} < x \le \frac{1}{2}$ và $y \ge 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[P = {x^2} + {y^2} + \frac{{{x^2}{y^2}}}{{\left( {\left( {4x - 1} \right)y - {x^2}} \right)}}\]
LÊ QUANG NẪM
(TP. Hồ Chí Minh)
Bài T7/421. Cho dãy số thực dương $\left( {{a_n}} \right),n = 0,1,...$ được xác định như sau:
1. ${a_0} = 1,\,{a_m} < {a_n}$ với mọi $m,n \in \mathbb{N},m < n$
2. ${a_n} = \sqrt {{a_{n + 1}}{a_{n - 1}}} + 1$ và $4\sqrt {{a_n}} = {a_{n + 1}} - {a_{n - 1}}$ với mọi $n \ in \mathbb{N^{*}}$.
Tính tổng $T = {a_0} + {a_1} + {a_2} + ... + {a_{2012}}$
TRẦN VĂN THĨNH
(GV THCS Tự Cường, Tiên Lãng, Hà Tĩnh)
Bài T8/421. Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$, đáy là tam giác đều cạnh $a$, các cạnh bên của lăng trụ bằng $a$. Gọi $I$ là trung điểm của $AB$ và $B'I \bot \left( {ABC} \right)$. Tình khoảng cách từ điểm ${B'}$ đến mặt phẳng $\left( {ACC'A'} \right)$ theo $a$.
NGUYỄN ANH VŨ
(GV THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm, Hoài Ân, Bình Định)
TIẾN TỚI OLYMPIC TOÁN
Bài T9/421. Tìm tất cả các đa thức $P\left( x \right)$ với hệ số thực thỏa mãn \[{P^2}\left( x \right) - 1 = 4P\left( {{x^2} - 4x + 1} \right)\]
LÊ XUÂN ĐẠI
(GV THPT chuyên Vĩnh Phúc)
Bài T10/421. Tìm $\alpha ,\beta $ sao cho giá trị lớn nhất của hàm số \[y = \left| {\cos x + \alpha \cos 2x + \beta \cos 3x} \right|\] đạt giá trị nhỏ nhất.
ĐẶNG THANH HẢI
(GV Học viện PKKQ Sơn Tây, Hà Nội)
Bài T11/421. Cho tam giác $ABC$ có độ dài 3 cạnh là $a,b,c$. Gọi $S$ và $p$ lần lượt là diện tích và nửa chu vi của tam giác đó. Chứng minh bất đẳng thức
\[\frac{1}{{{a^2}{{\left( {p - a} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{b^2}{{\left( {p - b} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{c^2}{{\left( {p - c} \right)}^2}}} \ge \frac{9}{{4{S^2}}}\]
NGUYỄN VĂN THÔNG
(GV THPT chuyên Lê Qúy Đôn, Đà Nẵng)
Bài T12/421. Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $\left( O \right)$ với $BC > CA > AB$. Trên $\left( O \right)$ ta lấy sáu điểm phân biệt $M,N,P,Q,R$ và $S$ (không trùng với bất cứ đỉnh nào của tam giác $ABC$) sao cho $QB = BC = CR;SC = CA = AM$ và $NA = AB = BP$. Gọi ${I_A},{I_B},{I_C}$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác $APS,BNR,CMQ$. Chứng minh rằng $\Delta {I_A}{I_B}{I_C}$ đồng dạng $\Delta ABC$.
NGUYỄN ĐĂNG PHẤT
(Hà Nội)
Chú ý: Do chưa hết thời gian gửi bài cho Tòa soạn nên sẽ không có bất kì thảo luận nào về các bài toán này. Sau thời gian gửi bài, các bạn có thể tự do thảo luận.
